Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

12.2.  понятие определенного интеграла

Рассмотрим непрерывную функцию у = /(ж), не принимающую отрицательных значений, так что график ее целиком лежит выше оси Ож, хотя и может касаться оси Ох в некоторых точках. Пусть а и b — такие числа, что функция определена при а ^ х ^ Ь.

Кривая у = f(x) и прямые х — а. х — b w у = 0 ограничивают некоторую область плоскости, называемую областью под кривой у = f(x) от а до 6, или криволинейной трапецией.

Если требуется вычислить площадь S криволинейной трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области (рис. 12.1). Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой, то можно вычислить S с любой степенью точности.

О

Рис. 12.1. Криволинейная трапеция

Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников (рис. 12.2). Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой х интервала [а, 6]; он имеет высоту f(x) и бесконечно

Подпись:

 

/(*)

 

 

f(Ci)

 

a dx

О

a Axj

Рис. 12.2. Вычисление площади криволинейной трапеции

малую ширину dx; площадь его равна, следовательно, f(x)dx. Общая же площадь S есть сумма всех таких площадей.

Напомним, Лейбниц писал S = J f(x) dx. Символ J означал у

него сумму. Этот символ происходит от удлинения буквы S (первой буква слова Summa). Позже ученик Лейбница Иоган Бернул-ли предложил отличать «целостную сумму бесконечно малых» от обычной суммы и предложил знак J именовать интегралом от

латинского слова integralis (целостный).

Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, предложив явно указывать начальное и конечное значения х:

S =

f(x)dx.

 

Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок.

Пусть функция f(x) неотрицательна на [а, Ь]. Разобьем отрезок [а, Ь] на п промежутков точками жо, жъ ..., жп:

а = хо < х < Х2 < ... < xn-i < хп = Ь.

На каждом отрезке разбиения выберем точку С{ и положим

Дж^ — Х{ Х{—,

г = 1, 2, ... , п.

Тогда произведение f(ci) Ах і равно площади прямоугольника Si со сторонами f(ci) и Ах і. Сумма площадей всех таких прямоугольников равна сумме вида

п

 

Эта сумма представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции (рис. 12.2). Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма Sn стремится к площади криволинейной трапеции S. Введем теперь точное определение.

Пусть на отрезке [а, ь] задана функция у = f(x) (теперь уже не обязательно неотрицательная). Разобьем отрезок [а, ь] на п промежутков точками х$, х, ..., хп

а = Xq < х < Х2 < ... < хп-1 < хп = ь.

На каждом отрезке разбиения [#г-ъ xi] выберем точку С{ и положим

Ах і — х{    Хі—і,       і — . 2, п. Сумму вида

п

Sn = Y,f(Ci)Axi

і=1

назовем интегральной суммой для функции у = f(x) на [а, ь]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка [а, ь] точками #о, #ъ •••5 хп, так и от выбора точек со, сі, сп на каждом из промежутков разбиения [#г-ъ хі], і — = 1,2,..., п.

Обозначим через max Ахі максимальную из длин отрезков [хі-і, Xi], где і = 1, 2, ..., п.

Определение. Пусть предел интегральной суммы

п

Sn = Y,f(ci)^Xi

i=l

при стремлении max Ахі к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х, Х2, и с, С2, .... Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(x)

8 Я. М. Ахтямов

на [а, Ь] и обозначается

 

f(x)dx,

 

а сама функция у = f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, Ь], т. е.

 

f(x)dx=     lim У*/(с*)Дж*.

max Дж; —>-0  .—: г=1

 

Эта запись читается: «интеграл от а до бэ эф от икс дэ икс». При этом число а называется нижним пределом, число b — его верхним пределом («пределы интегрирования» не имеют ничего общего с термином «предел функции»); функция f(x) — подынтегральной функцией, выражение f(x)dx — подынтегральным

b

выражением, а задача о нахождении J f(x) dx — интегрировани-

а

ем функции f(x) на отрезке [а, Ь].

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия. Неопределенный интеграл представляет функцию (а точнее семейство функций), а определенный интеграл — это число.

Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

f(x)dx =

/(*) dt =

f(u)du.

 

Верхний предел b может быть больше или меньше нижнего а. В первом случае

а = xq < х < Х2 < ... < xn-i < хп = Ь, т. е. Ахі = х{ — х{- > 0. Во втором случае

а = хо > х > Х2 > ... > xn-i > хп = Ь, т. е. Ахі = х{ — х{- < 0.

Поэтому по определению полагают

 

(

1

Ь

 

f(x)dx = -

f(x)dx.

1

) с

і

Понятие определенного интеграла распространяют и на случай а = 6; интеграл с равными пределами считается равным нулю:

а

f(x)dx = 0.

а

Это соглашение оправдано тем, что интегральная сумма стремится к нулю при сближении а и Ь.

Очевидно, если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6], то она и ограничена на этом отрезке. В самом деле, если f(x) не ограничена на отрезке [а, 6], то она не ограничена на некотором отрезке [#г-ъ хг- За счет выбора точки сі интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела, что противоречит определению, согласно которому предел интегральной суммы Sn существует и конечен.

Покажем на примере функции Дирихле, что обратное утверждение неверно: существует ограниченная функция, не являющаяся интегрируемой. Напомним, что функция Дирихле равна единице в рациональных точках и нулю — в иррациональных. На любом отрезке [а, Ь] эта функция ограничена, но не является интегрируемой на нем. Действительно, если в каждом отрезке [#г-ъ хг выбрать рациональную точку сі, то интегральная сумма

п          п п

г=1      г=1 г=1

= (xi - х0) + (х2 - xi) + ... + (xn-i - хп-2) + (хп - xn-i) =

= хп — хо = b — а. Если выбрать иррациональную точку     то f(ci) = 0 и

п          п п

sn = Y, f(a) Ахі = Е0 • ахі = Е0 = °-

г=1      г=1 г=1

Таким образом, с одной стороны Sn = b — а, с другой стороны Sn = 0. Поэтому предел интегральных сумм не существует и функция Дирихле не является интегрируемой.

Отметим без доказательств, что справедливы следующие утверждения:

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6], то она интегрируема на любом отрезке [с, of], содержащимся в [а, 6].

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6], то она интегрируема на этом отрезке.

Если функция f(x) имеет на отрезке [а, Ь] конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на [а, Ь].

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |