Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

12.4.  интеграл в социально-экономической сфере

Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю.

Количество денег, поступивших в Сбербанк за определенный промежуток времени. Пусть и = f(t) описывает количество денег поступающих в сберегательный банк в каждый момент времени t. Требуется определить общее количество денег [/, поступивших в банк за промежуток времени [О, Т].

Если f(t) = const, то количество денег [/, поступившее в банк за промежуток времени [О, Т], находится по формуле U = = f(c) • (Т — 0) = f(c) Т, где с произвольное значение из отрез-

ка [0, Т].

Если в каждый момент времени за промежуток времени [0, Т/2] в банк поступает f(c) денежных единиц, а в каждый момент времени в промежутке [Т/2, Т] — f(c2) денежных единиц, то общее количество денег, поступившее за промежуток времени [0, Т], подсчитывается по формуле

U = f(Cl)T/2 + f(c2)T/2.

Пусть f(t) — произвольная кусочно-непрерывная функция на отрезке [0, Т]. Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:

0 = t0 < ti < t2 < ... < tn-i <tn = T.

Количество денег AUij поступивших в банк за промежуток времени [ti-i, ti], приближенно может быть вычислено по формуле

AUaf(Ci)AU,

где Сі Є [ti-i, ti], At і = ti — ti-i, і = 1, 2, ..., n (точность этого равенства тем выше, чем меньше At і). Тогда

п п t=l г=1

При стремлении maxAti к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

п

max At і —>0 .

г=1

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

т. е. если f(t) — количество денег, поступивших в Сбербанк в

т

момент времени £, то J f(t) dt есть общее количество денег, по-

0

ступивших в Сбербанк за промежуток времени [0, Т].

Поскольку f(t) ^ 0, то общее количество денег, поступивших в Сбербанк за промежуток времени [0, Т] численно равно площади фигуры под графиком функции f(t).

Объем продукции, произведенной за определенный промежуток времени. Пусть, теперь, функция у = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции Q, произведенной за промежуток времени [0, Т].

Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:

0 = t0 < ti < t2 < ... < tn-i <tn = T.

Объем продукции AQi, произведенной за промежуток времени [ti-i, ti], приближенно может быть вычислен по формуле

AQ«/(Cj)Ati,

где Сі Є [ti-ii ti], At і = ti — ti-ij і = 1, 2, ..., n (точность этого равенства тем выше, чем меньше At і). Тогда

Подпись:
При стремлении maxAti к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

 

maxAtj—>-0  .—: г=1

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

т

Q =

/(*) dt,

 

т. е. если /(£) — производительность труда в момент времени £, т

то J f(t)dt есть объем выпускаемой продукции за промежуток о

времени [О, Т].

Поскольку /(£) ^ 0, то объем продукции, произведенной за промежуток времени [О, Т], численно равен площади фигуры под графиком функции /(£), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [О, Т].

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |