Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

12.8.  геометрические приложения определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница

 

f{x)dx = F(b) - F(a)

 

представляет универсальную формулу вычисления площадей. С помощью этой формулы можно находить площади квадратов, прямоугольников, треугольников, трапеций и других более сложных фигур.

Действительно, площадь квадрата со сторонами, равными 2, равна

2

2

2 dx = 2 х

о

прямоугольник треугольник Рис. 12.6. Вычисление площадей

 

площадь прямоугольника со сторонами 1 и 2 равна

і

2 dx = 2 х

о

= 2,

о

площадь прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2 равна

2

х dx =

= 2,

Подпись: оо

площадь трапеции с основаниями 1, 2 и высотой 1 равна

2

ж     = —

 

(рис. 12.6).

Теорема. Пусть на отрезке [а, Ь] заданы непрерывные функции у = /і(ж) и у = f2(x) такие, что f2(x) ^ fi{x). Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми у = f2(x) и у = fi(x), на отрезке [а, Ь] вычисляется по формуле (рис. 12.7, а)

S =

{f2(x)-h(x))dx.

 

 

□ Будем предполагать, что у = fi(x) и у = f2(x) — неотрицательные функции на [а, Ь]. Этого всегда можно добиться путем параллельного переноса оси Ох.

Подпись:  Подпись:  а б Рис. 12.7. Вычисление площадей

Искомую площадь можно рассматривать как разность двух криволинейных трапеций, ограниченных данными линиями. Поэтому

S = #2 — Si =

f2(x) dx

fi(x) dx =

(f2{x) dx - fi{x)) dx.

 

Заметим, что разность f2(x) — f(x) представляет «толщину» фигуры в точке ж, а площадь S представляет собой «сумму» по х от а до b всех «кусочков» с переменной «толщиной» f2(x) - fi(x). Ш

V Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3 х — х2 и у = —х.

Решение. Найдем точки пересечения данных кривых. Для этого решаем систему уравнений

(у = 3х- х^ у = -х.

Решив ее, получаем:

х = О,   х2 = 4,       у = 0,    у2 = -4.

Строим искомую фигуру (см. рис. 12.7, б). График параболы расположен выше прямой. Поэтому f2(x) = Зж — ж2, а /і(ж) = —ж.

S =

- fi{x)) dx =   ((3х - х2) - (-х)) dx = о

4

(4x-x2)dx= (2x2-^pj

 

0

= Ю-. A

 

V Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = у/х и у = х2.

Решение. Вычислим координаты точек пересечения указанных кривых, для чего решим систему уравнений:

(у = х2, у = Vх-

Решив ее, получаем:

 

Xl = 0,   х2 = 1,       У = 0.    г/2 = 1.

Строим искомую фигуру. Она похожа на лепесточек (рис. 12.8). График параболы у = х2 расположен ниже кривой у = у/х (в этом можно убедиться сравнив ординаты в какой-либо промежуточной между нулем и единицей точке, например, в точке X = = 1/2). Поэтому /2(х) = \[х , a fi(x) = х2. Следовательно,

 

S =   (/2(3?) — fi(x)) dx =   (л/^~ —      ^ж —

а О

2   3/2 _^

 

V Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной парабо-

лой у = х   и прямыми    = 0 и ;/у = 1.

Решение. Фигура, ограниченная указанными линиями, изображена на рис. 12.8 под названием «уголочек». Площадь этой фигуры вычисляется по формуле

S =

(1

і dx =

х

= 1-1- = 2-.

з з

Площадь «лепесточка» внутри квадрата оказалась в три раза меньше площади самого квадрата, а площадь «уголочка» — в два раза больше площади «лепесточка». А

Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

1

у = ^(х + 6)2

и прямой

2х-у + 12 = 0.

 

Ответ: 12 кв. ед.

Объем тела вращения. Пусть на отрезке [а, Ь] задана непрерывная неотрицательная функция у = f(x). Необходимо найти объем Vx тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = /(ж), у = 0. х — а. х — b (рис. 12.1).

Ученые XVIII века находили объем тела вращения следующим образом. Они считали, что криволинейная трапеция состоит из бесконечно малых прямоугольников со сторонами dx и f(x) (рис. 12.2). При вращении каждого такого прямоугольника вокруг оси абсцисс получается диск, имеющий толщину dx и радиус R = f(x) (рис. 12.9). Объем диска Vd равен объему цилиндра с радиусом R = f(x) и высотой Н = dx:

Vd = 7rR2H = 7rf2(x)dx.

«Просуммировав» объемы всех таких дисков, ученые получали следующую формулу:

vd =

Vd =

7Г f2(x) dx.

 

Эта формула действительно справедлива. Рассуждения ученых были качественно верными. Однако термин бесконечно малая величина не был ими достаточно четко определен, что приводило к противоречиям. Поэтому по форме такие рассуждения в современной математике считаются неприемлемыми х) и заменяются доказательствами, основанными на теории предела.

Докажем полученную формулу, пользуясь понятиями предела и интегральной суммы. Разобьем отрезок [а, Ь] на более мелкие отрезки точками:

а = хо < х < Х2 < ... < хп = b

и на каждом из отрезков разбиения выберем точку где і = = 1, 2, ..., п (рис. 12.10). При вращении вокруг оси Ох каждый прямоугольник с высотой f(ci) и основанием Ахі = х{ — х{- описывает цилиндр с радиусом f(ci) и высотой Ах і. Сумма объемов всех цилиндров

п

5>/2(с;)Д^

г=1

приближенно равна объему Vx тела вращения (рис. 12.10). Очевидно, что приближение для искомого объема Vx будет тем лучше, чем меньше длина отрезков разбиения Аж^, поэтому за искомый объем Vx естественно взять следующий предел:

п

тахЛж^—>-0 .—: г=1

х) Исключение составляет так называемый нестандартный (или неархиме-дов) анализ, зародившийся в 60-х гг. XX в., где вводится четкое определение бесконечно малой величины как некоего гипердействительного числа.

Подпись:

 

a dx

 

 

/(*)

н          >

 

вращаемый прямоугольник диск толщиной dx

Рис. 12.9. Vd = 7г f2(x)dx

У

У

Подпись:

 

а Axj

х

—>

х

 

Подпись:

 

вращаемая фигура

тело вращения

 

Рис. 12.10. Vx =     lim Р(сі)Ахі

тахДжі^О ^ = 1

 

где тахАжі —> 0 — максимальная из длин отрезков разбиения. Но выражение

п

5>/2(С;)Д*г

г=1

есть не что иное, как предел интегральной суммы для функции д(х) = 7г/2(ж), поэтому по определению определенного интеграла получаем

 

 

Ь

Vx = ir

fx)dx.

С

і

 

Заменим формально в этой формуле переменную ж на і/. Получим формулу

 

d

Vy = ir

92{у) dy.

С

 

Она выражает объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси Оу.

V Пример 4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох области, ограниченной параболой у = х2 и прямыми у = 0, х = 1 (рис. 12.11).

V

 

вращаемая фигура     тело вращения

і

Рис. 12.11. Vx = 7г ^(x2)2dx о

Решение. Имеем а = О, b = 1, f(x) = х2, откуда

У, = 7Г

f2(x) dx = 7Г

(х2)2 dx = 7Г ^— 5

1 1

= -7Г. А

о 5

 

V Пример 5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу области, ограниченной параболой у = х2 и прямыми у = і, ж = 0 (рис. 12.11).

Подпись:
Подпись:
вращаемая фигура     тело вращения

і

Рис. 12.12. Ц, = тг J(V^)2 dy

 

Решение. Имеем с = О, d = 1,        = д/у , откуда d і

Vy = 7T

g2(y)dy = 7г

ydy = >K —

1 1

= -7Г. А

о 2

 

Задача 2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линия-

ми у = -, х = 1, у = 2. Ответ: 30 7г.

Задача 3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у2 = 4 — х2, х = 0. ^12

Ответ: — тг « 107,23.

15

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |