Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

12.9.  приближенное вычисление определенных интегралов

На практике часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции или выражаются очень сложно. Нередко подынтегральная функция задается таблицей или графиком. В этих случаях интегралы находят численными методами. Основа численных методов построения формул приближенного вычисления интегралов состоит в замене частичных криволинейных трапеций, образующихся при разбиении отрезка интегрирования, на более простые фигуры. В формуле прямоугольников — это прямоугольники; в формуле трапеций — трапеции; в формуле парабол — параболы. Рассмотрим эти методы более подробно.

Формула прямоугольников. Пусть на отрезке [а, Ь] задана функция у = f(x). Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции S, ограниченной кривой у = f(x) и прямыми х = а, х = b и у = О (рис. 12.1).

Ранее было дано определение интегральной суммы. Напомним, как она строилась. Отрезок [а, Ь] разбивался на п промежутков точками жо, жі, ..., хп:

а = хо < х < Х2 < ... < xn-i < хп = Ь.

На каждом отрезке разбиения выбиралась точка С{ и полагалось

Ах і — х{    х{—\^       і — . 2, л.

Тогда произведение f(ci)Axi представляло площадь прямоугольника Si со сторонами f(ci) и Ах і. Сумма площадей всех таких прямоугольников равнялась сумме вида

п г=1

причем Sn можно было считать приближенно равной искомой площади S.

Формула прямоугольников практически совпадает с приближенной формулой для определенного интеграла

b

п

f(x)dx » Sn = ^2f(a)Axi.

 

Отличие состоит лишь в том, что в формуле прямоугольников меньше произвола. Отрезок [а, Ь] делится на равные части (а не

произвольным образом, как в определении определенного интеграла), а значения с{ представляют середины соответствующих

ОТреЗКОВ [#г-Ъ хг-

Итак, формулой прямоугольников называется следующее приближенное равенство:

f(x)dx

(У1 + У2 + ... + Уп),

где

 

— — длина каждого отрезка, а у і = f (с«), с{ — середина її

отрезка [xi-i, Х{].

С увеличением п точность формулы неограниченно возрастает. В пособиях по численным методам доказывается, что предельная погрешность Rn = |S — Sn формулы прямоугольников составляет

24п2

М2,

(12.1)

где М2 — наибольшее значение |//7(ж)| на отрезке [а, 6]. Для эмпирических функций вместо М2 берут наибольшее значение

|А2И

величины

Ах2

Подпись: V Пример 1. Найти по формуле прямоугольников прибли-
1
dx
Подпись: 1 + xzженное значение интеграла Решение. Имеем

о

(= j = 0,785398...).

 

Cl

= 0,05

Ш

= 0,9995,

С2

= 0,15

т

= 0,9780,

сз

= 0,25

т

= 0,9442,

С4

= 0,35

ш

= 0,8909,

С5

= 0,45

Уь

= 0,8316,

Сб

= 0,55

Уб

= 0,7678,

С7

= 0,65

У7

= 0,7029,

С8

= 0,75

ш

= 0,6400,

с9 = 0,85 сю = 0,95

У9 = 0,5806, Шо = 0,5256,

откуда

Подпись: dx 1 + х2 dx

Л.уюу = 1.7 8581. ^   у     10 '

 

Погрешность — — 0,78581 составляет примерно 0,0004. Вычислим теоретическую предельную погрешность. Имеем:

23 '

Зж2 - 1

/"(*) = 2

 

Наибольшее значение          на отрезке [0, 1] равно 2 (оно до-

стигается при х = 0). Подставляя п = 10, М2 = 2 в формулу для предельной погрешности (12.1), получим Rio = 0,00085 (она никогда не превысит действительную погрешность). Значит, нет смысла вычислять ~yl больше чем на четыре знака. А

Формула трапеций. Формула трапеций также представляет приближенную формулу вычисления определенного интегра-Ъ

ла J f(x) dx.

а

Приближенное значение искомого интеграла можно получить, заменив площадь под кривой площадью под ломаной, расположенной достаточно близко к исходной кривой. Для построения этой ломаной разобьем отрезок интегрирования на п равных

частей длиной h = -—- и на каждом отрезке разбиения [#г-ъ xi]

заменим часть кривой у = f(x) хордой, соединяющей концевые точки (рис. 12.13). Тогда

 

f(x) dx я S± + S2 + ... + Sn,

 

где Si, #2, ••• 5 Sn — площади трапеций (площади под хордами на каждом из отрезков разбиения). Площадь каждой трапеции Si

Хі —    Сі Хі

а б

формула трапеций    формула парабол

Рис. 12.13. Приближенные формулы

„   f{Xi-i) + f(Xi)

равна полусумме основании           , умноженный на вы-

соту h =

b — а

 

 

Обозначим f(x{) через у і. Тогда

s. = y_izl±yih

и Ъ

f(x)dx « S± + S2 + ... + Sn =

 

-ь(У^мУ±мУ±мУ1л- , Уп-1 , Уп

"    V2 + 2 + 2 + 2       2        2 /

Все слагаемые, кроме крайних Щ- и       встречаются дважды.

Поэтому окончательно получаем формулу трапеций:

 

/(я) Же и         ^ + уі + у2 + ... + уп_2 +        + Ні

 

9 Я. М. Ахтямов

значение интеграла

V Пример 2. Найти по формуле трапеций приближенное і

dx      (= J = 0,785398...).

l + xz

о

Решение. Имеем

 

х0 = 0,0

уо = 1,0000,

xi = 0,1

Уі = 0,9901,

х2 = 0,2

у2 = 0,9615,

х3 = 0,3

уз = 0,9174,

Ж4 = 0,4

у4 = 0,8621,

Ж5 = 0,5

у5 = 0,8000,

Жб = 0,6

Уб = 0,7353,

хч = 0,7

У7 = 0,6711,

xs = 0,8

у8 = 0,6098,

Хд = 0,9

у9 = 0,5525,

хю = 1,0

2/ю = 0,5000,

откуда і

dx

1 + х2

 

 

dx ~

 

 

b — а

п

 

 

1,5000

 

+ 7,0998   = 0,78498.

 

 

Ь - а ҐУо + Уг, Зп

+ (уі + ...+Уп-і) + 2(т + ---+Уї)

СЙМПСОН (Simpson) Томас (1710-1761) — английский математик, член Лондонского королевского общества. Был ткачом шелковых тканей, математику изучил самостоятельно. Основные труды по геометрии, тригонометрии и математическому анализу. Вывел формулу приближенного интегрирования (формулу Симпсона). Один из основоположников теории ошибок.

В основе этого метода лежит замена частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху функцией / (ж), на криволинейную трапецию, ограниченную сверху параболой вида

у = Ах2 + В х + С.

Предельная погрешность формулы Симпсона составляет

 

Здесь М4 — наибольшее значение |/^4^| на отрезке [а, Ь].

V Пример 3. Найти по формуле Симпсона приближенное і

Подпись: dx 1 + х2
значение интеграла

(= ^ = 0,785398...).

Подпись: 1Подпись: Уо =о

Решение. Имеем

х0 = 0,00

сі = 0,25 xi = 0,50 с2 = 0,75

х2 = 1,00

2 Уі

і

У 4 =

 

 

0,50000,

1,88235, 0,80000, 0,28000,

0,250000,

откуда

dr 1

dx&-- 4,71235 = 0,78539. 1 + ж2 6

 

Погрешность составляет примерно 0,00001, т. е. в 40 раз меньше, чем в примерах 1 и 2, хотя там число ординат было вдвое больше.

Численное вычисление на компьютере. Используя какой-либо из методов, описанных выше, и формулу предельной погрешности  соответствующей   формулы,   можно вычислять определенные интегралы с любой степенью точности. В Maple для этого существует команда:

>evalf(Int(expr,х=а..b,digits);

Здесь обязательными параметрами являются подынтегральная функция ехрг, зависящая только от переменной х, а и b — пределы интегрирования, а необязательным — digits — точность вычисления.

V Пример 4. С помощью пакета Maple найти с точностью і

Подпись: dx 1 + х2
до 10 3 интеграл Решение.

(= j = 0,785398...).

>evalf(Int(l/(l+x~2),х=0..1,3);

і

7^ = 0,785. А

1 + X

до 10 4 интеграл Решение.

 

V Пример 5. С помощью пакета Maple найти с точностью і

sin х dx

>evalf(lnt(sin(x)/x,x=0..1,4);

і

sin х dx

= 0,9461.

 

sin X

Заметим, что функция          не интегрируема в элементарных

X

функциях. А

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |