Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

12.10.  несобственные интегралы

Понятие определенного интеграла было введено для функции, ограниченной на отрезке [а, Ь]. Ряд конкретных задач (в частности, задач теории случайных величин) приводит к расширению понятия интеграла на случаи бесконечных промежутков и разрывных функций. Такие интегралы называются несобственными. Различают несобственные интегралы первого и второго рода в зависимости от того, имеем ли мы дело с бесконечным промежутком интегрирования или с неограниченной подынтегральной функцией.

Несобственные интегралы первого рода. Пусть функция у = f(x) непрерывна при х ^ а.

Определение 1. Если интеграл

f(x)dx

(12.2)

 

при b —> +оо имеет конечный предел, то этот предел называется несобственным интегралом функции f(x) от а до бесконечности и обозначается

 

f(x)dx.

 

Итак, по определению

f(x) dx = lim

f(x)dx.

(12.3)

 

Если интеграл (12.2) при b —> +oo имеет бесконечный предел или вовсе не имеет предела, то говорят, что несобственный интеграл (12.3) расходится. Если интеграл (12.2) при b —> +оо имеет конечный предел, то говорят, что несобственный интеграл (12.3) сходится.

V Пример 1. Найти J 2 х dx.

 

Решение. Имеем

2 х dx = lim

2~xdx =   lim -1-(-2-ж)16 Ь_>+00 In 2 v J

=   iim   _L (l - L = _L (l -0) = -L ~ 14. b^+oo In 2 V      2b J     In 2 v       J     In 2

= і

 

Геометрическое истолкование. Интеграл J 2 х dx изобража-

о

ется криволинейной трапецией, ограниченной линиями у = 2_ж, у = О, ж = О, х = b (рис. 12.14). По мере удаления b от начала координат площадь криволинейной трапеции возрастает, но не безгранично. Она стремится к 1/1п2. Таким образом, площадь бесконечной области под линией у = 2~х конечна (равна 1/ In 2). Это не удивительно. Объяснить это можно следующим образом. Площадь бесконечного луча на плоскости равна нулю (у луча нет ширины), т. е. тоже конечна. При добавлении к лучу треугольника получается бесконечная фигура, которая имеет конечную ненулевую площадь. Примерно то же самое и с несобственным интегралом. По мере удаления b от начала координат бесконечная область под линией у = 2~х настолько сближается с осью абсцисс, что почти сливается с ней. В результате площадь всей фигуры оказывается конечной. Функция у = 2~х сродни также геометри-

ческому ряду Y1 2"

п=0

который имеет конечную сумму. А

Геометрический смысл несобственного интеграла (12.3) для неотрицательной на [а, +оо) функции f(x) состоит в том, что он представляет собой площадь криволинейной фигуры, ограниченной данной линией у = /(ж), осью Ох и вертикалью х = а.

V Пример 2. Найти

г dx

J х l

Решение. Имеем

+оо b

dx        Л.

— =     Inn

x +

dx       л. л — =   I mi  In x

x          Ь^ + og

 

=   lim (In b

 

■0) = +oo.

Значит, искомый несобственный интеграл расходится. Геометрически это означает, что площадь области под гиперболой у = —

x

неограниченно возрастает (по мере удаления b от начала координат гипербола недостаточно приближается к оси Ох, чтобы площадь была конечной). А

Пусть функция непрерывна в промежутке (—оо, Ь].

Определение 2. Несобственным интегралом функции f(x)

ъ

от —оо до а называется предел интеграла J f(x) dx при а —> —оо:

f(x) dx = lim

f(x) dx.

 

 

Сходимость и расходимость несобственного интеграла J / (х) dx

— оо

понимаются как в определении 1.

Пусть функция непрерывна на всей числовой оси.

Определение 3. Несобственным интегралом функции f(x) от —оо до +оо называется следующая сумма:

+ 00

+ 00

 

f(x)dx =

f(x)dx +

f(x)dx.

 

 

Она не зависит от выбора точки х = с. Предполагается, что оба

несобственных интеграла сходятся. Интеграл   J f(x)dx выра-

— оо

жает площадь области под линией у = f(x), бесконечно простирающейся в обе стороны.

V Пример 3. Найти площадь бесконечной области под лини-d3

ей у

локон Аньези (рис. 12.16).

dz + xz

АНЬЁЗИ (Agnesi) Мария Гаэтана (1718-1799) — итальянский математик, профессор университета в Болонье. Родилась в Милане. В

d3

ее честь плоскую кривую, выраженную уравнением  у = —^   

назвали «локон Аньези».

 

Решение.  Искомая площадь представляется интегралом

 

+оо      0 +оо

d<

dz + x2

dx =

dc

dz + x2

dx +

d<

d2 + xz

dx.

Подпись: dz + xz Подпись: о
Подпись: Так как
Подпись: „     „ dx = d2 arctg —t,

 

TO

 

 

—T dx = lim d2 arctg —t = n d212.

d2 + x2            b^+oc d

Аналогично о

—- dx = — lim d2 arctg = тг d212,

d2 + x2            a^-oo   ° d 1

 

откуда

 

dx = тг d2.

 

Таким образом, площадь искомой бесконечной фигуры вчетверо больше площади круга с диаметром d. Этот результат получила итальянский математик Мария Аньези. (Впрочем, еще за сто лет до Аньези искомую площадь другим методом нашел Ферма.) А

Иногда вместо   lim  F(b) пишут F(±oo). Такая запись поз-

6—)>±ос

воляет обобщить формулу Ньютона-Лейбница. Действительно, пусть F(x) — первообразная функция для непрерывной функции f(x). Тогда

f{x)dx =

f(x)dx +

f(x)dx =

 

 

=   lim  (F(b) - F(c)) +  lim   (F(c) - F(a)) =

b—>+oc a—> — oo

=   lim  F(b)-   lim  F(a) = F(+oo) - F(-oo).

 

Таким образом, если функция f(x) непрерывна на всей числовой оси, то формула Ньютона-Лейбница

f(x) dx = F(b) - F(a) верна и в случае, когда а или b равны ±оо.

Подпись: 1 + аґ
V Пример 4. Найти несобственный интеграл

dx.

Решение.

 

1 0

dx — arctg х

1 + x

 

7Г 7Г

arctg0 — arctg (—оо) = 0 —(— — ) = —. А

 

Несобственные интегралы второго рода.

Определение 4. Пусть функция f(x) непрерывна при а < х ^ b и имеет точку разрыва при х = а. Тогда соответствующий несобственный интеграл от разрывной функции определяется формулой

fix) dx = lim

f(x)dx

(12.4)

a+e

и называется сходящимся или расходящимся в зависимости от того, существует или не существует предел правой части равенства (12.4).

Аналогично определяется несобственный интеграл, когда f(x) имеет разрыв только на конце х = b промежутка [а, Ь).

і

этому і

V Пример 5. Найти несобственный интеграл    — dx.

 

Решение. Функция f(x) = — разрывна в точке х = 0. По-

— dx = lim

x є->-+0

1        . 1

— dx = lim (In x)     = 1 — (—oo) = +oo.

x          £->+ov     7 +£            v 7

0 +£

Искомый несобственный интеграл расходится. Геометрически это означает, что соответствующая криволинейная трапеция («бесконечный шпиль») имеет бесконечную площадь (рис. 12.17). А

Если существует функция F(x), непрерывная на отрезке [а, Ь] и такая, что

F'(x) = f(x)   при а < х ^ b

Подпись:  Подпись:
Рис. 12.17. Геометрический смысл несобственного интеграла

{обобщенная первообразная), то для несобственного интеграла (12.4) справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница:

fix) dx = lim

f(x)dx= Hmo (F(b)-F(a + є)) =

а+є

= F(b) - F(a) = F(x)

 

Таким образом, формула Ньютона-Лейбница для определенных интегралов доказывается] для несобственных она принимается за определение.

Аналогично определяется несобственный интеграл, когда f(x) имеет разрыв только на конце х = b промежутка [а, 6):

 

f(x) dx = F(b) - F(a) = F{x)

V Пример 6. Найти несобственный интеграл

dx.

 

Решение. Функция f(x) = —= разрывна в точке х = 0.

л/х

Поэтому

—j=- dx = 2 \[х

л/х

= 2-0 = 2.

Геометрически это означает, что соответствующая криволинейная трапеция («бесконечный шпиль») имеет площадь равную двум (рис. 12.17). По сравнению с предыдущим примером площадь оказалась конечной. Это является следствием того, что

«шпиль» для функции у = —=- является тонким и, начиная с

л/х

некоторой высоты, почти сливается с осью Оу. А Решение примеров 4, 5, 6 в пакете Maple.

>int(1/(1+х**2),x=-infinity..0);

Ответ: - 7Г. 2

>int(l/x,x=0..1);

Ответ: оо.

 

>int(l/sqrt(x),х=0..1);

Ответ: 2.

Нет ни одной области страктна она ни была, окажется применимой к го мира.

математики, как бы аб-которая когда-нибудь не явлениям действительно-

 

Н. Лобачевский

 

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |