Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

13.5.  задача дисконтирования денежного потока

При определении экономической эффективности капитальных вложений возникает задача дисконтирования: определение начальной суммы Aq через время t по ее конечной величине A(t) при процентной ставке р.

Пусть A{t) — конечная сумма, полученная за t лет, и Aq — начальная сумма.

Если проценты простые, то в конце каждого года t сумма A{t) в Сбербанке по сравнению с прошлым годом {t — 1) увеличивается на р \% от начальной суммы А$:

A(t) = A(t-l) + ^-A0.

В первого года начисляется сумма составит

Л(1) = Л0 + 4Л„ = Л0 (l + JL);

в конце второго года

 

в конце года t:

 

Поэтому если проценты простые, то дисконтированная сумма вычисляется по формуле

Подпись:
Ранее в гл. 6 было установлено, что при начислении сложных процентов, конечная сумма вычисляется по формуле

A(t) = A0(l + ^) tGN;

100 j

при непрерывном начислении процентов — по формуле

A(t) = Л0е

100

t Є (0, +оо).

Отсюда получаем, что дисконтированная (в данном случае, начальная) сумма к моменту времени t в случае сложных процентов

Подпись:
а в случае непрерывного начисления процентов

A0 = A(t)e

100

 

Предположим, теперь, что деньги вкладываются в банк не разово, в начальный момент времени t = 0, а постоянно и образуют денежный поток, который выражается непрерывной функцией Ao(t). Тогда (см. п. 12.4) общая сумма      вложенная в банк за период времени [О, Т], представляет определенный интеграл

Ud(T) =

A0(t) dt =

pt

A[t)e 100 dt.

 

 

Здесь A(t) — ежегодно поступающий доход.

Величина Ud(T) называется дисконтной суммой за период времени [О, Т]. Слово «дисконтный» происходит от английского discount (скидка).

V Пример. Какую сумму следует внести за период [О, Т] в Сбербанк под 10\% годовых, чтобы ежегодный доход составлял тысячу рублей. Предполагается, что проценты начисляются непрерывно.

Решение. Согласно условию задачи A(t) = 1 при всех t Є (0, Т), поэтому

Ud(T) =

A0(t) dt =

1-е

10t

100 dt =

10e-°'1T + 10   (тыс. руб.).

 

В частности, при Т = 3 года, имеем

Ud(3) = -10 е-0'1'3 + 10 « 2,59  (тыс. руб.).

Таким образом, чтобы ежегодный доход в течении трех лет составлял 1 тыс. руб. (за три года — 3 тыс. руб.), следует вложить в Сбербанк 2,59 тыс. руб. Прибыль за три года составит 0,41 тыс. руб. За Т = 10 лет

Ud(10) = -10 е-0'1'10 + 10 « 6,32   (тыс. руб.)

(прибыль за 10 лет равна около 3,68 тыс. руб.). А

Задача 1. Пусть проценты в банке начисляются непрерывно. Какую сумму следует внести за период [0, Т] в Сбербанк под 10\% годовых, чтобы ежемоментный доход в момент времени t составлял е0'1^ тысячу рублей.

Ответ: Т тысяч рублей.

Задача 2. Пусть проценты в банке начисляются непрерывно. Какую сумму следует внести за период [0, Т] в Сбербанк под 10\% годовых, чтобы ежемоментный доход в момент времени t составлял 1 + 0,11 тысячу рублей.

Указание. Применить формулу интегрирования по частям.

Ответ: 20 - 10 (2 + 0,1 • Т) е"°'1Т тыс. руб.

Раздел IV Функции многих переменных

 

Именно предельные абстракции являются тем истинным оружием, которое правит нашим осмыслением конкретного факта.

А. Уайтхед

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |