Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

14.2.  область определения, предел и непрерывность функции двух переменных

Область определения. Множество всех значений независимых переменных х и у, для которых определена функция z = = /(ж, у) (для которых она вообще имеет смысл), называется областью определения этой функции.

Например, область определения функции

z = 1 — х — у

есть вся плоскость Оху, так как соответствующая формула имеет смысл при всех значениях х и у. Формула

имеет смысл только при тех действительных х и у, при которых

1 - х2 - у2 ^ 0.

Поэтому соответствующая функция определена лишь в круге

х2 + у2 ^ 1.

 

Предел функции двух переменных. Говорят, что последовательность точек Рп с координатами хП1 уп стремится к точке Pq с координатами #о, Уо, если последовательность расстояний dn точек Рп от точки Pq стремится к нулю при п —> оо. Таким образом, последовательность точек Рп стремится к Pq, если

т. е. если хп стремится к жо, а уп — к у$.

Говорят, что zq есть предел функции /(ж, у), где (ж, у) стремится к (жо, 2/0)^ если для каждой последовательности точек уп), отличных от (жо, Уо) и стремящихся к (жо, Уо), последовательность f(xn, уп) стремится к zo при п оо.

Это записывается следующим образом:

lim   f(x,y) = z0

X —» Хо

У ^ Уо

или

f(x, у) -> z0, при (ж, у) -> (ж0, г/о)•

 

V Пример 1. Найти   lim (1 — х — у).

х 1

у ^2

Решение,   lim (1 — ж — у) = 1 — 1 — 2 = —2. А

ж 1

V Пример 2. Найти   lim у/ — х2 — у2 .

х О

 

Решение,   lim J — х2 — у2 = л/1 — О — О = 1. А

х О у^О

Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций, выведенные для функций одной переменной, справедливы и для функций двух переменных. Таким образом, имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций в точке (жо, У о) равен сумме (разности) пределов этих функций в той же точке, т. е. если при (ж, у)     (жо, Уо) имеет место

f(x, у) -> а,       д(х, у) -> Ь,

то

f(x, у)±д(х, у) -> а±Ъ.

 

Теорема 2. Предел произведения двух функций в точке (жо, Уо) равняется произведению пределов этих функций в этой точке, т. е. если при (ж, у)     (жо, Уо) имеет место

f(x, у) -> а,       д(х, у) -> Ь,

то

f(x, у) • д(х, у) -> а-Ь.

 

Теорема 3. Предел частного двух функций в точке (жо, Уо) равняется частному пределов этих функций в той же точке (при условии, что ни значение функции-делителя в окрестности этой точки, ни значение предела этой функции не равны нулю), т. е. если при (ж, у)     (жо, Уо) имеет место

f(x, у) -> а,       д(х, у) -> Ь,

то при условии, что д(х, у) ф О и Ь ф 0; имеем'.

f(x, У) _^ а 9(х,у) Ь'

Говорят, что функция z = /(ж, у) непрерывна в точке (жо, 2/о)5 если она определена в этой точке и если

lim  /(ж, у) = /(ж0, уо),

X —> Хо

У ^Уо

т. е. если значение функции /(ж, у) в точке (жо, Уо) равно пределу функции в этой точке.

Другими словами, функция z = f(x, у) непрерывна в точке (жо, 2/0)5 если бесконечно малым изменениям значений х и у соответствует бесконечно малое изменение значения / (ж, у).

График непрерывной функции представляет собой поверхность без разрывов и проколов. Функция z = /(ж, у) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Например, функция z = 1 — ж — у непрерывна везде, так как lim   /(ж, у) = 1 - х0 - уо = /(ж0, уо).

X —> Хо

У ^ Уо

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |