Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

1.3.  способы задания функции

Различают три способа задания функции: 1) аналитический; 2) табличный; 3) графический.

1. Аналитический способ. Если функция выражена при помощи формулы, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над х, чтобы получить у, то говорят, что она задана аналитически.

При аналитическом способе задания функция может быть задана явно, когда дано выражение у через ж, т. е. формула имеет вид у = f(x); неявно, когда х и у связаны между собой уравнением вида F(x, у) = 0; параметрически, когда соответствующие друг другу значения х и у выражены через третью переменную величину £, называемую параметром.

Неявная функция может быть однозначной или многозначной. Например, уравнение ху — 1 = 0 задает однозначную неявную функцию при х ф 0, которую, решив данное уравнение, можно записать в явном виде: у = 1/ж; уравнение х2 + у2 — 1 = = 0 задает двузначную неявную функцию на интервале — 1 < < х < 1, которую можно записать в явном виде: у = ±л/1 — х2 . Уравнение х2 + у2 — 1 = 0 может быть также представлено и параметрически: х = cost, у = sint (0 ^ t < 2тг) (параметрические уравнения окружности). Параметрическое представление функции позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда переход к их явному заданию без посредства параметров затруднителен.

Аналитический способ удобен для выполнения математических действий над функцией и решения задач прогнозирования.

Приведем пример аналитического задания функции из социально-экономической сферы.

V Пример 1. Функция Филлипса. Как и любая цена, цена труда зависит от конъюнктуры рынка. Когда на рынке труда имеет место дефицит, то рабочие могут рассчитывать на большую зарплату, и наоборот, в период существования конъюнктурной безработицы рабочим будут платить меньше.

В 1958 году профессор Лондонской школы экономики Фил-липс опубликовал результаты своих исследований взаимозависимости между уровнем безработицы и изменением денежной ставки зарплаты в Великобритании в период с 1861 по 1957 г. Для первых 52 лет (1861-1913) эта зависимость выражалась уравнением

у = -0,9 + 9,638 -ж"1'394, (1.1) где у — годовой темп прироста ставки заработной платы (в процентах), х — общий уровень безработицы (в процентах).

Это уравнение представляет аналитическое задание функции и называется формулой Филлипса. А

ФЙЛЛИПС (Phillips) Олван (1914-1975) — австралийский экономист, работавший в Англии.

К недостаткам аналитического способа задания функции

можно отнести то, что он не всегда нагляден.

2. Табличный способ. Этот способ является наиболее простым. В одном столбце записывают значения аргумента ж, а во втором — значения f(x).

Такой способ задания функции часто применяется в тех случаях, когда область определения состоит из конечного числа значений (таблицы цен на товары, таблицы розыгрыша лотерей и т. д. Широко используются таблицы значений различных функций: в таблицах тригонометрических функций, логарифмов и т. п. В виде таблиц записываются результаты экспериментального исследования каких-либо процессов и явлений.

V Пример 2. Рост числа научных изданий. Рост числа научных изданий у, начиная с 1750 г. с интервалом в 50 лет, в зависимости от года ж, выглядит (округленно) следующим образом х).

К недостатку табличного способа можно отнести то, что представление о функциональной зависимости здесь не является полным, так как невозможно поместить в таблице все значения аргумента.

3. Графический способ. Аналитический и табличный способы задания функции страдают отсутствием наглядности. Графический способ не имеет такого недостатка. Графическим способом называется такой способ задания функции у = /(ж), при котором соответствие между аргументом х и функцией у устанавливается с помощью графика.

Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (ж, f(x)), т.е. таких, координаты которых обращают выражение у = f(x) в тождество.

ЧСм. [5, с. 9].

Отличительной чертой графика функции является то, что каждая прямая, параллельная оси Оу, пересекает его либо в единственной точке (если х Є D(f)), либо вовсе не пересекает (если х f£ D(f)).

V Пример 3. Кривая Филлипса. Как мы знаем, аналитическая зависимость между годовым темпом прироста ставки заработной платы у (в процентах) и общим уровнем безработицы х (в процентах) выражается формулой (1.1). Эта формула не дает наглядного представления о функции. График же этой функции, называемый кривой Филлипса и изображенный на рис. 1.2, позволяет как бы увидеть соответствующую зависимость. А

 

 

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |