Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

14.4.  полный дифференциал

Полным приращением Az функции

z = f(x, у)

называется разность f(x + Аж, у + Ay) — /(ж, у), где Ах и Ау — соответствующие приращения аргументов х и у:

Az = f(x + Ах,у + Ay) - f(x, у).

Будем говорить, что функция имеет непрерывные частные производные в точке М(ж, у), если z = /(ж, у) имеет частные производные zx (х, у), zy (х, у) в окрестности точки (ж, у), причем эти производные непрерывны в самой точке (ж, у). Такая функция является дифференцируемой в точке (ж, у). (Вообще же, понятие дифференцируемости шире, чем существование непрерывных частных производных. Однако практически все функции, рассматриваемые в социально-экономической сфере, обладают непрерывными частными производными. Поэтому точного определения дифференцируемости нам не понадобится.)

Полным дифференциалом функции z = /(ж, у) называется выражение dzj которое вычисляется по формуле

dz = z'x Ах + z'y Ay.

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, то есть dx = Ах ndy = Ay (проверьте!). Поэтому формулу полного дифференциала можно записать так:

dz = z'xdx + z' dy.

Произведение частной производной на приращение (дифференциал) аргумента х называется частным дифференциалом и обозначается dxz. Аналогично определяется частный дифференциал по аргументу у:

dx z = z'x dx,    dy z = Zy dy,

т. е. полный дифференциал dz равен сумме частных дифференциалов dxz и dyZ.

V Пример. Найти полный дифференциал функции z =

= л/х2 + у2 .

Решение. Имеем

-     х  - у

+г        Vх +у

и,следовательно,

х у

dz =     - dx Н              dy. А

л/х2 + у2         л/х2 + у2

Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал любого числа переменных.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |