Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

14.9.  производная неявной функции от одной переменной

В социально-экономических исследованиях часто возникает ситуация, когда значения двух переменных х и у связаны между собой уравнением, которое, если все члены перенести налево,

в общем случае имеет вид

F(x,y)=0. (14.3)

Здесь F(x,y) есть функция двух переменных, заданная в какой-либо области. Если для каждого значения х из некоторого промежутка существует одно или несколько значений у, которое совместно с х удовлетворяют уранению (14.3), то этим определяется, однозначная или многозначная, функция у = f(x), для которой равенство

F(x,f(x)) = 0 (14.4)

имеет место уже тождественно относительно X. Рассмотрим, например, уравнение

х2 + у2-1 = 0.

Уравнение определяет двузначную функцию от ж в промежутке [—1,1], а именно

у = J — х2 .

Если вместо у подставить эту функцию в уравнение (14.3), то получится тождество.

Здесь удалось найти для у очень простое аналитическое выражение через х, даже в элементарных функциях. Однако так обстоит дело не всегда. Например, если взять уравнение

у — х — є sin у = О      (0 < є < 1),

то этим уравнением переменная у не выражается в конечном виде через элементарные функции от х.

Функция у = f(x) называется неявной, если она задана посредством неразрешенного (относительно у) уравнения (14.3); она становится явной, если рассматривается непосредственная зависимость у от х. Ясно, что эти термины характеризуют лишь способ задания функции у = f(x) и не имеют отношения к ее природе.

В простейшем случае, когда уравнение (14.3) — алгебраическое, т. е. когда функция F(x,y) есть полином относительно х и у, определяемое им неявная функция у от х (вообще многозначная) называется алгебраической. Если степень уравнения (относительно у) не выше четырех, то алгебраическая функция допускает явное выражение в радикалах; при степени выше четырех такое выражение возможно лишь в виде исключения.

Полезна следующая

Теорема. Пусть для функции F(x,y) выполнены следующие условия:

F(x,y) определена и непрерывна в прямоугольнике

D = [х0 - А, х0 + А; у0 - А7, у0 + А7]

с центром в точке (жо, У о) 5

частные производные F'x и F'y существуют и непрерывны в D]

F(x0,y0)=0;

производная F'y{x^, уо) отлична от нуля.

Тогда в некоторой окрестности точки (жо,уо) уравнение (14.3) определяет у как однозначную функцию у = f(x), которая имеет непрерывную производную у'х] при х = xq эта функция принимает значение у о.

Теорема однако не дает представления о способе вычисления производной от неявной функции у'х. А это очень важно в социально-экономических исследованиях, так как использование производной позволяет более детально исследовать функцию: определить интервалы ее возрастания и убывания, найти точки минимума и максимума. Поэтому ниже приводится простой прием, с помощью которого можно легко находить производную от неявной функции.

Пусть выполнены условия теоремы. Согласно определению неявной функции у = f(x) удовлетворяет уравнению (14.3). Левая часть этого уравнения представляет собой сложную функцию от ж, которая тождественно равна нулю. Тогда и производная ее по х также есть нуль. Воспользовавшись формулой (14.1) дифференцирования сложной функции, получаем

dF^_dF^ d^+dF_ dy__dF^+dF_ dy_ dx      dx   dx     dy   dx     dx     dy dx

Так как производная правой части (14.3) равна нулю, а производ-

dF

ная левой части равна ——, то имеем

dx

dF dF dy ^

            1          • — — ().

дх     ду   dx '

или, в других обозначениях,

К + Ку'х = 0, (14-5)

откуда (так как F'

Ф 0) имеем

Подпись:

(14.6)

Эта формула выражает правило дифференцирования неявной функции у от переменной х.

Если функция F(x,y) имеет еще и непрерывные производные второго порядка, то выражение, стоящее в равенстве (14.6) справа, может быть продифференцировано по ж, следовательно существует и вторая производная ухх от неявной функции у.

После того как факт второй производной установлен, их вычисление производится путем повторного дифференцирования тождества (14.5) с учетом того, что у является функцией от х. Дифференцирование тождества (14.5) дает

р" +       . у'  і (р" +f" .у'.у' + F' • v"  = 0

± хх  *  ± ху   Ух  *  Vі ху  *  ± уу   Ух)   Ух  *     у Ухх

откуда (так как F' ф 0) имеем

Подпись:
Аналогичные формулы легко получить и в случае других частных производных высшего порядка, и в случае уравнения F(xi, Х2, ... , хп, у) = 0 с большим числом переменных.

V Пример. Неявная функция задана уравнением

Найти у'х и у"х.

Решение. Дифференцируя последовательно по х (причем у считаем функцией от ж), получим

х + УУ' _ ху' -у

х2 + у2 ~ х2 + у2

или

х + уу'

ху - у;

 

затем

 

1 + Ы)2 + Уу" = ху".

Из первого уравнения находим

 

из второго (если подставить найденное значение у1)

/ = !±^ = 2^±4. ▲

х-у       (х-у)

Задача. Неявная функция задана уравнением F(x, у) = ху - ух = 0, {хфу).

Найти

ах

Ответ: ^ = -^(1 -]ПХ).

dx xz(l- y)

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |