Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

14.10. двойной и тройной интегралы

При изучении функций одной переменной было введено понятие определенного интеграла. Оно определялось как предел интегральных сумм.

Для функции двух переменных можно ввести понятие двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом и обозначается так:

 

/(ж, y)dxdy.

D

Если определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции выражает площадь криволинейной трапеции, то двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен объему тела, построенного на области D плоскости хОу как на основании и ограниченного сверху поверхностью z = f(x, у). Этот объемный аналог криволинейной трапеции называют цилиндроидом.

Для функции трех переменных аналогично вводится понятие тройного интеграла, а в общем случае, для функции п переменных, определяют кратный интеграл.

В случае простейших тел, кратные интегралы удается свести к повторным и вычислить их с помощью определенного интеграла.

Покажем, как это делается в случае двойного интеграла.

Подпись:  Множество D на плоскости хОу называется элементарным относительно оси Ох, если его граница состоит из графиков двух непрерывных функций д(х) и h(x), определенных на некотором отрезке [а, Ь] и таких, что

д(х) ^ h(x),

 

у = Кх)

0

Рис. 14.6. Множество элементарное относительно оси Ох

и отрезков прямых х = а и х = b (рис. 14.6).

Двойной интеграл по элементарному множеству D может быть вычислен с помощью теоремы, представляющей собой двумерный аналог формулы Ньютона-Лейбница.

Теорема. Если функция z = f(x, у) непрерывна на элементарном множестве D, то

fh(x)

f(x, y)dxdy =

f(x, y)dy

dx.

(14.7)

D

a g(x)

)

Интеграл, стоящий в правой части (14.7), называется повторным интегралом. Иногда он записывается также в виде

h(x)

dx

f(x, y)dy.

 

 

V Пример. Вычислить двойной интеграл

г»

(10-х2 -у2) dx dy,

D

если область D есть прямоугольник, стороны которого определены уравнениями

х = 1:

х = 2;

!/ = 0;      у = 2.

Решение. Применим формулу (14.7):

2 /2

 

(10-х2 -у2) dx dy =

f{x, y)dy

dx.

D

ї о

)

Вычислим внутренний интеграл; при интегрировании считаем х постоянной величиной:

 

(10 - ж2 - у2) dy = Ыу-х2у-У

у=2 У=0

Подпись: 52
з У

= 20-2Ж2-? = ^-2Ж2.

Тогда

(10-х2 -у2) dx dy =

— -2х2) dx =

D

52 їх'

38

 

Задача 1. Вычислить двойной интеграл (х2 + у2 + 2) dx dy,

D

если область D есть прямоугольник, стороны которого определены уравнениями

х = 2;       х = 4;       ;// = 0:       У = 3. Ответ: 86.

Задача 2. Вычислить двойной интеграл (х2 + у2 + 2) dx dy,

D

если область D есть прямоугольник, стороны которого определены уравнениями

х = 0;       х = 1;       г/ = 0;       ?у = 2. Ответ: 14.

14.11.  Компьютерные вычисления частных производных и кратных интегралов

Для вычисления частных производных в Maple используется команда

> diff(expr,xl$nl,x2$n2,...);

Здесь ехрг — выражение, зависящее от переменных xl, х2, ..., a nl, п2, ... — порядки дифференцирования по соответствующим переменным.

V Пример 1. Найти частные производные z'x, zxy и zyy функции от двух переменных z = 5Х'У. Решение.

> z:=5~(x*y): diff(z,x); diff(z,x,y); diff(z,y$2);

 

5xyy In 5,

5xyx(ln5)2 + 5xy In 5,

5хух2 (1п5)2.

А

Для компьютерного вычисления двойных, тройных и т. д. интегралов нужно применить несколько раз команду

int(f(х),х=а..Ь),

(x2 + y2 + 2)dy dx.

J

рассмотренную при изучении определенного интеграла. V Пример 2. Вычислить повторный интеграл:

Решение.

> іпг(іпг(х~2+у~2+2,у=0..3),х=2..4);

86. А

 

V Пример 3. Вычислить повторный интеграл:

4 /х

-» г

(ж2 + у2 + 2) dy dx.

2 /

Решение.

> int(int(x~2+y~2+2,y=0..х),х=2..4); 92. А

Несколько команд интегрирования имеется в библиотеке student, которую предварительно нужно подключить при помощи with (student) . В библиотеке student имеется, например, команда Tripleint (f ,х,у,z) для вычисления тройного интеграла.

V Пример 4. Вычислить интеграл:

2 л/4ж~2/2

dx

dy

х dz.

 

Решение. Подключаем библиотеку student: > with(student);

Записываем тройной интеграл

> Tripleint(x,z=0..sqrt(4*x-y~2),у=0..2*sqrt(x),х=0..2);

Вычисляем

> value(");

Если поручить двум людям, один из которых — математик, выполнение любой незнакомой работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше.

Г. Штейнгауз

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |