Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

16.4.  рост производства и частные производные

Рассмотрим, как связаны между собой рост производства и знаки частных производных.

Как известно, если производная функции положительна, то сама функция возрастает. То же можно сказать и о частных производных. Если, например, zx(x, у) > 0, то это означает, что функция z(x,y) возрастает, если переменная у неизменна.

Если производственная функция F(K, L) непрерывно дифференцируема, то естественно считать, что

F'K(K, L) > 0,      F'L(K, L) > 0, (16.3)

поскольку рост количества используемых фондов К и рост числа трудящихся L приводят к росту национального дохода Y = = F{K, L).

Проверим это свойство для функции Кобба-Дугласа. По правилу дифференцирования степенной функции имеем

^ = Y0aKa-1L1-a,

^ = Y0(l-a)KaL-a.

Поскольку К > О, L > О, 0 < а < 1, из выражений для первых частных производных функции Кобба-Дугласа вытекает (16.3):

дУ     п        9Y .

М>0' эь>0-

 

Вывод: Первые частные производные производственной функции положительны.

 

А каковы знаки вторых частных производных производственной функции?

Найдем вторые частные производные для функции Кобба-Дугласа:

дК2

д2У дЬ2

д2У дКдЬ

д2У дЬдК

д2у =Y0a(a-l)Ka~2 Ll~a,

= Y0(l-a)(-a)Ka L~a~ = Y0a(l-a)Ka~1 L~a, = Y0a(l-a)Ka~1 L~a.

Поскольку Ar>0, L>0,0<a<l, все множители, за исключением (а — 1) < 0 и (—а) < 0 в предыдущих равенствах, положительны. Поэтому

d2Y л

 

d2Y п

Подпись: д2У
> о,

> О.

дКдЬ дЬдК

Знаки производных о тУ2 и            ^ отрицательны. Это означает, что

Что означают эти неравенства? Напомним, что если вторая производная положительна, то график функции одной переменной является выпуклым вниз, а если вторая производная отрицательна, то график направлен выпуклостью вверх. Знак второй производной величины показывает рост или убывание предельной величины. Если вторая производная производственной функции (одной переменной) положительна, то эффективность ресурса растет, если отрицательна, эффективность падает. д2У д2У

дк^ИЖ2

эффективность трудовых и производственных ресурсов убывает.

Это вполне согласуется с реальными процессами экономики. Наблюдения показывают, что в условиях экстенсивного роста производства (увеличивается объем производства без изменения технологии) наращивание затрат лишь одного производственного ресурса приводит к снижению его эффективности. Так, если увеличивать число станков, обслуживаемых одним рабочим, не изменяя технологические характеристики станков, то на каждом новом станке будет производиться все меньшее дополнительное количество продукции (при неизменном числе рабочих, они просто не будут поспевать обслуживать все станки). То же происходит, если увеличивать количество рабочих, оставляя неизменным количество станков. Эффективность каждого рабочего будет падать (из-за увеличения простоев).

Таким образом, неравенства

д2У     Л        д2У Л

—~ < о, —т < О

дК2       ' дЬ2

вполне естественны.

 

Вывод: Вторые частные производные       и      2 произ-

водственной функции отрицательны.

 

Увеличение лишь одного производственного ресурса приводит к снижению его эффективности. Однако, если увеличивать все ресурсы, то можно добиться увеличения эффективности каждого ресурса. Математически это можно записать следующим образом:

д2У   =   д2У~ 7~

 

Вывод: Вторые смешанные частные производные производственной функции положительны.

 

16.5.  Линии постоянного выпуска

и предельные показатели экономики

Линии постоянного выпуска. Напомним (с. 280), что множество точек плоскости называется линией уровня функции

z = f(x, у),

если координаты этих точек удовлетворяют уравнению

f(*,y) = C,

где С — постоянная.

Линии уровня функции z = х2 + у2 — концентрические окружности

х2 + у2 = С

радиуса R = /~С с центром в начале координат.

Пусть процесс производства описывается с помощью двух-факторной производственной функции z = f(x, у). Тогда равенство

/(ж0, Уо) = С

означает, что при затратах ресурсов в объемах

X = Х0,           (J = ?у0.

выпуск продукции составляет С единиц (в натуральном или стоимостном выражении). Множество точек х и у, удовлетворяющих равенству

/(ж, у) = /(ж0, уо) = С,

выражает соответствующие затраты ресурсов, при которых обеспечивается выпуск в объеме С. Таким образом, линия уровня производственной функции описывает такие затраты ресурсов, при которых обеспечивается один и тот же выпуск С. Поэтому линии уровня производственных функций называют линиями постоянного выпуска или изоквантами (от греческого слова «изо» — равный и немецкого Quantum — «количество»).

Предельная норма замещения. Уравнение линии постоянного выпуска производственной функции

z = z(xi, х2)

имеет вид

/(жі, х2) = С. Продифференцируем его. Получим

dz = dC = О,

а значит,

dz  Л   dz л

— Ажі + — Ах2 = 0.

ох OX2

Отсюда выразим отношения приращений затрат ресурсов и обозначим их соответственно 721 и 712:

Ах2 дхі

Ахі dz dx2

dz

Ахі dx2

Ax2 dz_

dx

= 72b

 

= 712-

Величина jij называется коэффициентом эквивалентной заменяемости ресурсов или предельной нормой замещения. Она показывает, какое количество одного ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат другого на единицу. Ясно, что числа jij и jji обратны друг другу.

В предыдущем параграфе было показано, что предельные

dz

производительности ресурсов —— положительны, поэтому

ох і

 

lij < о.

Y = Уп Ка L1_a,

Для функции Кобба-Дугласа

^0

dY

 

Подпись: Отсюда

1Kb = Ilk = ~

a L ' a L

1-а К

 

Вывод: Для производственной функции Кобба-Дугласа предельная норма ^кь замещения прямо пропорциональна фондовооруженности труда К/L, а предельная норма замещения jlk пропорциональна трудоемкости L/K.

 

Коэффициенты эластичности выпуска по затратам ресурсов. Пусть аргумент х функции z = /(жі, х2) получил приращение Ажі, а значение х2 осталось прежним. Изменение значения функции выражается частным приращением по х\

Ажі АЖ1;

AXiz = f(xi + Джі, х2) - /(жі, х2). Составим относительные приращения

х z

Отношение относительного приращения функции к относительному приращению аргумента жі, равное

^£і£ . ш\% :(—• 100\%

показывает, на сколько в среднем изменится значение функции при увеличении х на 1\% (т. е. от х до х + 0,01 х). Найдем предел этого отношения при Ахі —> 0:

El=   lim          : f—-100\%^ =

Axi-M    z     J    xx J J

xi   v      AXlz     xx ,

= —   lim         = — • zr,.

z Ажі^о Ax      z 1

Аналогично

 

Ei и Е2 называются коэффициентами эластичности выпуска по первому и второму ресурсу соответственно.

Коэффициенты Ei показывают, на сколько процентов приблизительно изменится значение функции (величина выпуска), если затраты соответствующего ресурса увеличили на один процент, оставив неизменными затраты другого ресурса.

Поскольку

отсюда следует

 

Вывод: Коэффициент эластичности Ei производственной функции z = /(жі, Х2) равен отношению предельной производительности z'x соответствующего ресурса к его сред-

z

ней производительности —.

X і

 

Из этого вывода следует, что равенство единице коэффициента эластичности выпуска по г-му ресурсу означает совпадение предельной и средней производительности этого ресурса:

Еі = 1    =►    ± = |1.

Xi        ОХ і

Задача. Показать, что для функции Кобба-Дугласа

Ек =    El = 1 — а.

 

16.6.  Экономический смысл дифференциала производственной функции

Пусть функция z = /(жі, Х2) выражает зависимость стоимости выпущенной продукции фирмы от количества затраченных

ресурсов Х{.

О z

Частный дифференциал   dxz = ——Ах і, являясь произ-

дхі

dz

ведением предельной производительности —— на его дополни-

дхі

тельные затраты Ахі, дает приближенное значение стоимости,

произведенной за счет увеличения Х{ на Ах{. Тогда полный дифференциал

і       dz  Л       dz л

dz = —- Ахг + —~ Ах2

ох ох2

приближенно выражает изменение выпуска продукции Az при небольших изменениях затрат обоих ресурсов.

Если Pi — цена единицы первого ресурса (скажем, меди), а Р2 ~ цена единицы второго ресурса (например, серебра), то затраты на приобретение дополнительного количества меди Джі составят РАх денежных единиц, а на приобретение дополнительного количества серебра Ах составят РАх. Следовательно, Р Ах + Р2 Ах2 — сумма затрат на дополнительное приобретение ресурсов. Производство выгодно только тогда, когда дополнительно произведенная стоимость превосходит затраты, связанные с ее созданием, т. е.

dz > Pi Axi + Р2 Ах2

 

Вывод: Производство выгодно только тогда, когда дифференциал произведенной стоимости больше суммарных затрат.

Последнее неравенство можно записать в следующей форме: Ахг + -і- Ах2 > Рг Ахг + Р2 Ах2.

ох ох2

Это неравенство выполняется лишь при условии, что

(& - р0д*+(& - *)д- > °-

Так как Джі > 0 и Ах2 > 0, последнее неравенство заведомо выполнено в случае, когда

Р--Рі>0,      |^ - Р2 > о,

ох ох2

причем хотя бы одно из этих неравенств является строгим.

 

Вывод: Если цены ресурсов не превосходят их предельных производительностей, то убытков при их приобретении не будет.

16.7.  Максимизация прибыли от производства товаров разных видов

В экономике бывает важно определить в каком соотношении следует выпускать различные товары, чтобы получить максимальную прибыль от их продажи.

Решим одну из задач подобного рода. Пусть х, х2, ..., хп — количества п различных производимых товаров. Будем предполагать, что товары Xi продаются по фиксированным ценам Pi и моментально реализуются. Затраты на производство этих товаров задаются функцией издержек

С = С(хъ ж2, ..., хп).

Тогда функция прибыли от реализации товаров является функцией от п переменных жі, ж2, ..., хп, которая вычисляется по формуле

П = П(жь ж2, ... , хп) =

= Pi xi + Р2 х2 + ... + Рп хп - С(хъ ж2, ... , хп). (16.4)

Спрашивается: какое количество каждого товара нужно производить, чтобы иметь наибольшую прибыль, от реализации всех товаров?

Для того чтобы ответить на этот вопрос нужно найти наибольшее значение функции П. Одним из естественных условий при которых ищется экстремум, является следующее: Хі ^ 0 (количество произведенных товаров не может быть отрицательным).

V Пример 1. Пусть производится два вида товаров, обозначим их количества х и у. Пусть цены на эти товары соответственно Р = 16 и Р2 = 14, а функция затрат

С = х2 + 3ху + у2.

Требуется ответить на вопрос: Какое количество обоих видов товаров нужно произвести, чтобы иметь наибольшее значение прибыли?

Решение. Согласно формуле (16.4) прибыль выражается функцией

П(х,у) = 16х + 14у - (х2 + 3ху + у2). Требуется найти наибольшее значение П при условиях

х ^ 0,       у ^ 0 (16.5)

(количество произведенных товаров не может быть отрицательным).

Необходимые условия локального экстремума приводят к системе алгебраических уравнений

П'ж = 16 - 2 х - 3 у = О,       П'у = 14 - 3 х - 2 у = О,

решением которой являются значения х = 2, у = 4. Поскольку в стационарной точке

Пжж — ~~ 2 < О,       Пжж Пуу — Рху = 13 > О,

то согласно достаточному условию локального экстремума найденная стационарная точка определяет локальный максимум функции прибыли, причем П(2,4) = 44.

Однако наибольшее значение в квадранте (16.4) достигается на его границе. Действительно, при х = 0 и у = 0 имеем соответственно:

ЩО, у) = Ыу-у2,    П(ж,0) = Wx-x2.

первая функция имеет максимум при у = 7, вторая — при х = 8. При этом

11(0,7) = 49,       11(8,0) = 64.

Таким образом, наибольшее значение достигается при х = 8 и у = 0. Следовательно, второй товар лучше вообще не производить. А

Наибольшее значение в задачах такого рода может достигаться и внутри квадранта (16.4).

Задача. Пусть производится два вида товаров, обозначим их количества х и у. Пусть цены на эти товары соответственно Р = 8 и Р*2 = Ю, а функция затрат

С = х2 + х у + у2.

Требуется определить какое количество обоих видов товаров нужно произвести, чтобы иметь наибольшее значение прибыли.

Ответ: х = 2, у = 4, Птах(2, 4) = 28.

 

Вывод: В одних случаях выгодно производить лишь один товар из всего ассортимента выпускаемой продукции, в других — все товары, но в определенной пропорции. Пропорция зависит от цен на товары и функции затрат.

Мы рассматриваем задачу максимизации прибыли от производства товаров разных видов. Продемонстрируем теперь применение к этой задаче критерия Сильвестра (с. 312) и достаточных условий экстремума, сформулированных с помощью квадратичных форм (с. 315).

V Пример 2. Пусть производится три вида товаров, обозначим их количества ж, у и z. Пусть цены на эти товары соответственно Р = 7, Р2 = 8 и Рз = 9, а функция затрат

С = x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz.

Требуется определить: какое количество обоих видов товаров нужно произвести, чтобы иметь наибольшее значение прибыли.

Решение. Согласно формуле (16.4) прибыль выражается функцией

Щх,у) = 7 х + 8 у + 9 z - (х2 + у2 + z2 + х у + х z + у z).

Требуется найти наибольшее значение П при естественных ограничениях:

ж^О,    О 0,    z^O. (16.6)

Необходимые условия локального экстремума приводят к системе алгебраических уравнений

П'я = 7-2*-!/-* = О,

Ufy = 8-x-2y-z = О,

Yl'y = 9-x-y-2z = 0,

решением которой являются значения х = . у = 2, z = 3. Поскольку в стационарной точке

 

П"   = П"  = П"  = -2

ААжж уу      LLzz ^1

п" = П" = Р" = -1

ху        xz        yz '

то гессиан имеет вид

-2 -1 -1 det(H) = -1 -2 -1 -1 -1 -2

При этом главные миноры соответствующей квадратичной формы:

Дх = -2 < О,

 

= 3 > О,

 

А3 = det(#) = -4 < 0.

Отсюда согласно достаточному условию локального экстремума найденная стационарная точка определяет локальный максимум функции прибыли. Причем, 11(1, 2, 3) = 25. Значения функции прибыли на границе тела (16.6) меньше 25. Действительно, наибольшее значение функции прибыли H(x,y,z) при х = 0 равно 73/3 « 24,33, при у = 0 равно приблизительно 22,33, а при z = 0 равно 19.

Таким образом, наибольшее значение достигается при х = 1, у = 2, z = 3. Следовательно, товары в данном случае лучше производить в соотношении 1:2:3. А

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |