Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

16.8.  экономия ресурсов

В предыдущей главе (с. 305) были рассмотрены методы поиска экстремумов функции двух переменных. В настоящем параграфе рассмотрены некоторые приложения этих задач к задачам экономии ресурсов.

V Пример 1. Рассчитать размеры параллелепипеда так, чтобы при заданном объеме V = 1м3 площадь его поверхности была минимальной. В качестве приложения эту задачу можно сформулировать иначе: рассчитать размеры коробки так, чтобы на ее изготовление ушло наименьшее количество материала.

Решение. Обозначим через х и у размеры основания, тогда

высота h вычислится из соотношения 1 = xyh, т. е. h = —.

ху

Составим функцию площади

S = 2xy + 2-^- + 2— = 2xy + 2(- + -), х^0,у^0.

ху       ху         х у)

Можно предположить, что существуют такие х и у, при которых S достигает наименьшего значения. Задача состоит в том, чтобы найти эти числа.

12 Я. М. Ахтямов

Исследуем на экстремум функцию

S = S(x, y) = 2xy + 2(j- + ^j

двух переменных х и у (если бы в условии задачи было указано, что основание — квадрат, то S была бы функцией лишь одной переменной):

Найдем частные производные:

2

S'x{x, у) = 2у- —,

x

2

S'y(x, у) = 2х-

У у

Приравниваем к нулю частные производные

у-^2= 0,       х- = 0.

х у

Подставим у = 1/ж2, найденное из первого уравнения, во второе уравнение. Имеем

 

у = —у.       х — х = О.

х

На множестве действительных чисел эта система уравнений имеет одно решение:

х = 1,       у = 1,       h = 1.

Найдем частные производные второго порядка:

 

Q"

kJ XX

4

~ Xs'

А =

4

ЇЇ'

А = 4 > 0,

qff

УУ

4

С =

4

ЇЇ'

С = 4,

с"

^ ху

= 2,

В =

2,

 

 

А =

АС-

В2

= 12 > 0.

Так как А > 0, А > 0, то в точке (1, 1) функция имеет минимум: Smin = 5(1, 1) = 2 • 1 • 1 + 2 (і + і) = 6 (м2). А

V Пример 2. Определить размеры прямоугольного бассейна данного объема V, чтобы на облицовку (дна и стен) потребовалось наименьшее количество материала.

Решение. Обозначим через х и у размеры основания, тогда высота h вычислится из соотношения V = х у /і, т. е. h = V/(ху). Составим функцию площади

2yV     2xV     OT, /1 1

S = ху +       + = Xy + 2V [- + -) ,    хф О, уфО

ху       ху         х у)

(произведение х у, в отличие от предыдущего примера, учитываем лишь один раз, поскольку бассейн не имеет крышки). Исследуем на экстремум функцию

S = S(x,y) = xy + 2V (^ + ^)-

1) Найдем частные производные:

S'x{x, у) = у -2-^,

X

S'y(x, у) = х-2^.

У у

Приравниваем нулю частные производные

V V у — — = 0.      х — 2 —у = 0.

х у

Решение последней системы дает одну стационарную точку

Найдем частные производные второго порядка:

 

с"

^ XX

-4^,

X

А =

 

= 4 > 0,

Q"

УУ

У

С =

 

= 2,

г,П

kJ ху

= 1,

В =

 

= 1,

 

А = АС -

В2 =

: 4- 1 =

3 > 0.

Так как Д>0, Л > 0, то в точке Pq функция имеет минимум. Если

x=y=ty2V,

то

1 3/     

Таким образом, дно бассейна есть квадрат со стороной а глубина бассейна в два раза меньше стороны этого квадрата. А

Задача. Для упаковки продукции требуется изготовить коробку в форме параллелепипеда, объем которой был бы равен V. Дно коробки изготавливается из материала, каждый квадратный сантиметр которой стоит а денежных единиц. Крышка изготавливается из материала, каждый квадратный сантиметр которой стоит b денежных единиц. Боковая поверхность изготовляется из материала, каждый кв. см которой стоит с денежных единиц. Определить каковы должны быть размеры всех сторон ж, у, /і, чтобы стоимость коробки Р = Р(х, у, h) была наименьшей.

Указание. Р(ж, у, h) = (а + b) х у + 2 с h (х + у).

Ответ:

Подпись:
Заметим, что при a = b = c = V = l получаем х = у = h = 1 (решение первого примера), а при b = 0, а = с получаем

Подпись:  Подпись:
(решение второго примера).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |