Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

Глава 17 дифференциальные уравнения первого порядка 17.1.  задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Уже была исследована задача вычисления неопределенного интеграла от функции f(x). Решение этой задачи

 

f(x)dx = F(x) + C,

 

где F(x) — первообразная функции /(ж), можно рассматривать как решение уравнения

У' = f(x), (17.1)

поскольку (F(x) + C)f = f(x). Уравнение (17.1) содержит производную у1. Поэтому его называют дифференциальным уравнением. Оно имеет бесчисленное множество решений. Каждое из решений представляет некоторую первообразную от функции f(x).

Если потребовать, чтобы для решения у {і) выполнялось дополнительное условие

3/(0) = 1,

то среди всех решений найдется только одно, которое ему удовлетворяет. Действительно, поскольку у(х) = F{x) + С и у(0) = = 1, то

3/(0) = F(0) + С = 1,      С = 1-^(0),

откуда

у(х) = F(x) + С = F(x) + 1 - F(0).

 

V Пример. Пусть известно, что в начальный момент времени t = 0 на предприятии производилось продукции в количестве у о, а скорость роста продукции, произведенной на предприятии, пропорциональна инвестированию u(i). Найти какое количество продукции y(t) производится в каждый момент времени £, если инвестирование предприятия постоянно и равно 3 денежным единицам.

Решение. Согласно условию задачи

Щ = ки(і) = 3к.

dt         v )

Поскольку первообразной от постоянной величины 3 к, является линейная функция 3 к t + С, то решение дифференциального уравнения представляет функцию y(t) = 3 к t + С. Воспользовавшись другим условием задачи, согласно которому

2/(0) = уо,

получим С = у о, откуда имеем

y(t) = 3kt + y0,

т. е. рост продукции предприятия растет линейно. А

Задача. В условиях предыдущей задачи найти количество продукции y(t), произведенной в каждый момент времени £, если инвестирование предприятия растет пропорционально времени.

Ответ:

^ = kt,      y(t) = k£ + y0.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |