Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

17.2.  основные понятия теории

дифференциальных уравнений

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции и в которые входят не только сами функции, но и их производные.

Такими уравнениями являются, например, следующие:

y' = f(x);      y» + p(x)y> + q(x)=o;      y"' = g(x). (17.2)

Если в уравнение входит первая производная и не входят производные более высокого порядка, то это уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. Если же в уравнение входит вторая производная и не входят производные более высокого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка. Аналогично определяются дифференциальные уравнения третьего порядка, четвертого порядка и т. д. Из уравнений (17.2) первое является дифференциальным уравнением первого порядка, второе — дифференциальным уравнением второго порядка, третье — дифференциальным уравнением третьего порядка.

Вообще, порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (искомой функции), входящей в это уравнение. Во многих случаях (см. п. 17.1) искомые функции являются функциями времени t. В общем случае независимая переменная, как обычно, будет обозначаться через ж, а искомые функции — через у = /(ж), z = z(x) и т. п. В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в следующем виде:

F(x, у, у') = 0,

где у = у(х) — искомая неизвестная функция, у' = у'(х) — ее производная по ж, a F — заданная функция переменных ж, у, у1.

Дифференциальные уравнения, рассмотренные в п. 17.1, имеют вид

y' = f(x,y). (17.3)

Такие уравнения называются разрешенными относительно производной.

Функция ф(х), х Є (а, 6), называется решением дифференциального уравнения (17.3), если она имеет производную ф'(х) на (а, 6), и если для любого х Є (а, Ь) справедливо равенство

ф'(х) = /(х, ф(х)).

Другими словами, функция ф(х), х Є (а, Ь), называется решением дифференциального уравнения (17.3), если уравнение (17.3) при подстановке ее вместо у обращается в тождество по х на интервале (а, Ь).

Аналогично определяется решение дифференциального уравнения (17.2).

В дальнейшем рассматриваются лишь уравнения, разрешенные относительно производной, т. е. уравнения вида (17.3), или уравнения которые приводятся к уравнениям вида (17.3).

Задание уравнения вида (17.3) равносильно заданию функции f(x, у) переменных х, у. Геометрически функция / переменных х, у — это функция, определенная на некотором множестве точек плоскости с координатами х, у.

Любая кривая, заданная уравнением у = ф(х), х Є (а, Ь), где ф(х) — некоторое решение уравнения (17.3), называется интегральной кривой дифференциального уравнения (17.3).

Из этого определения и геометрического смысла производной следует, что интегральная кривая уравнения (17.3) полностью лежит в области, в которой определена функция /, и что интегральная кривая в каждой своей точке М(х, у) имеет касательную, угловой коэффициент которой равен значению функции / в этой точке М.

Задача нахождения решения уравнения (17.3), удовлетворяющего условию

УЫ = уо, (17.4)

где хо, у о — заданные числа, называется задачей Коши. Условие (17.4) называется начальным условием. Решение уравнения (17.3), удовлетворяющее начальному условию (17.4), называется решением задачи Коши (17.3), (17.4).

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши (17.3), (17.4) означает найти интегральную кривую уравнения (17.3), которая проходит через данную точку Мо(#о, Уо)-

Отметим без доказательства, что верна следующая

Теорема (существования и единственности). Если функция f(x, у) непрерывна в области, содержащей точку Мо(жо, Уо)-) то дифференциальное уравнение у' = f(x, у) имеет частное решение у = у(х), такое, которое удовлетворяет условию у(хо) = Уо- Если, кроме того, непрерывна и частная

производная       в точке Мо(жо? уо)-> то решение единственно.

Таким образом, практически всякое изучаемое нами дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, а соответствующая задача Коши имеет единственное решение.

 

17.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение, в котором путем преобразований переменные могут быть разделены, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение этого типа можно представить в виде

 

У = f(x)g(y),

где в правой части равенства каждый из двух множителей является функцией одной переменной. Так, уравнение

у' = у/(х + 1)

является уравнением с разделяющимися переменными

f(x) = l/(x + l),   g(y) = y,

а уравнение

х у' — 2у = х

— нет.

Решение уравнений с разделяющимися переменными состоит в следующем. Учитывая, что у' =       перепишем уравнение

у' = f(x)g(x)

в виде

 

Из этого уравнения получим уравнение с разделенными переменными

dy

= f(x)dx.

Почленно интегрируя последнее равенство, имеем

dy

9 (У)

9 (У)

f(x)dx.

При делении на д(у) мы полагали, что д(у) ф О, поэтому решения, при которых д(у) = О, могут быть потеряны. Их наличие надо проверять отдельно.

V Пример. Найти решение дифференциального уравнения у' = у/(х + 1),

удовлетворяющего начальным данным у = 6 при х = 2, (у(2) =

= 6).

Решение. Имеем

dy_ dx

 

х + 1

Чтобы разделить переменные, выполним следующие операции: 1) умножим обе части на dx:

dy =

у dx

 

2) разделим обе части на у, у ф 0:

dy dx у ~ х + 1'

3) интегрируем:

dy_ У dx

или

Inу = In х + 1| + InС = InС (х + 1)

(когда при интегрировании возникает 1п|у|, константу интегрирования принято записывать в виде In |С|);

потенцируя, получаем решение

у = С(х + 1)

(у = 0 ((7 = 0) также является решением, в этом можно убедится непосредственной проверкой);

по начальным данным определяем произвольную постоянную

6 = С (2 + 1),      С = 2. Окончательно имеем у = 2 (х + 1). А

17.4.  Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка, если оно имеет вид

 

y' + f(x)y = g(x), (17.5)

где f(x) и д(х) — некоторые (непрерывные) функции переменной X.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение линейно.

В случае, когда функция д(х) тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае — неоднородным.

Линейное однородное уравнение

y' + f(x)y = 0 (17.6)

легко решается методом разделения переменных:

 

откуда

In у =

f(x)dx + C1.

 

Потенцируя, получаем общее решение уравнения линейного однородного уравнения:

y = Ce-If{x)dx, (17.7)

где С = ±СЪ

Общее решение неоднородного линейного уравнения находят с помощью универсального метода, именуемым методом вариации постоянной.

Метод вариации постоянной основывается на предварительном решении однородного уравнения (17.6). Общее решение неоднородного уравнения ищем в методе вариации постоянной в виде решения однородного уравнения (17.7), полагая постоянную С новой неизвестной функцией аргумента х:

y = C(x)e-Sf(x)dx. (17.8)

Подставим (17.8) в неоднородное уравнение (17.5) с тем, чтобы найти функцию С(х):

С'(х) e-Sf(x)dx - С(х) /(ж) e-Sf{x)dx+

+ f(x)C(x)e-I«x)dx=g(x),

откуда после приведения подобных получаем уравнение для С'{х):

C'(x)=g(x)elf{x)dx.

Интегрирование последнего уравнения дает выражение для С(х):

С{х) = L(x)eSf{x)dxdx + C2,

 

подстановка которого в (17.8) приводит к окончательному виду решения неоднородного уравнения (17.5):

у = е

f(x)dx

g(x)eSf{x)dx dx + Ct

(17.9)

где С2 — произвольная постоянная. V Пример 1. Решить уравнение

х у' -2у = 2 х2.

Решение. Разделив левую и правую части уравнения на ж, приходим к линейному неоднородному уравнению:

у -2^ = 2х. (17.10)

х

Соответстующее однородное уравнение имеет вид

 

Разделяя переменные, получим

dy _ 2dx

У х

Проинтегрировав, найдем

In |у| = 2 In х + In С = In С х2,

или

у = Сх

Задача 2. Найти решение уравнения

dy_ _   ху        2               = 0

dx     1 + х2     1 + х2 ' удовлетворяющее начальному условию у = 3 при х = 0.

Ответ: у = 2 х + 3 л/1 + ж2 .

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |