Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

17.5.  уравнение бернулли

Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка, не являясь линейными, могут быть приведены к линейным после предварительных преобразований. Примером может служить уравнение

y' + f(x)y = g(x)-yn, (17.12)

которое называется уравнением Бернулли.

При п = 1 уравнение (17.12) становится уравнением с разделяющимися переменными. При п = 0 уравнение (17.12) есть линейное уравнение. Если п — число, отличное от нуля и единицы, то при помощи подстановки z = у1~п уравнение (17.12) приводится к линейному уравнению относительно новой функции Z.

Итак, пусть п ф 0, п ф 1. Введем новую функцию

z = y1~n,

(17.13)

тогда

z' = (1-п) у~п у'. Разделим обе части уравнения (17.12) на уп: y-ny' + f(x)y1-n = g(x).

Отсюда

z'/(l-n) + f(x)y = g(x),

или, что то же самое,

z' + (l-n)f(x)y = (l-n)g(x). (17.14)

Это уже линейное уравнение, решение которого описано в п. 17.4.

V Пример 1. Решить уравнение

у' + | = у2 In ж.

Решение. Заданное уравнение является уравнением Бернулли (п = 2). После замены (17.13) оно приводится к уравнению (17.14). В нашем случае оно имеет вид

 

z          z = — In X.

X

Согласно (17.9) решение этого уравнения имеет вид

z = e^lxdx ( (- In ж) e-^lxdx dx + C^j=x       + Сі) •

Поскольку z = —, имеем У

1        f 2x

- = x[   — + Ci

у     V 2

Положив С і = С/2, окончательно получаем

2

У =

(In2 х + С)

Задача. Решить уравнение Бернулли

ху' - у = Xs у2.

 

Ответ: у =       j.

Открытие исчисления бесконечно малых дало математикам возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям.

Ж. Лагранж

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |