Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

18.6.  решение дифференциальных уравнений с помощью пакета maple

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений используется команда

>dsolve(eqns,vars,option);

Здесь eqns — дифференциальное уравнение (или система) относительно неизвестных функций vars, a option — дополнительные условия, позволяющие указать метод решения задачи (например, type=numeric — для численного решения).

Если дополнительных условий нет, то Maple пытается найти аналитическое решение задачи, так как по умолчанию принято, что type=exact. При этом решение будет содержать неопределенные константы, изображаемые _С1, _С2, ....

Для задачи Коши в уравнение (уравнения) eqns нужно включить также начальные условия.

V Пример 1. Найти общее решение однородного уравнения

у"' -у" + у' -у = х2 + х.

 

Решение.

>dsolve(diff(у(х),x$3)-diff(у(х),х$2)+ diff(у(х),х)-у(х)=х~2+х,у(х)); у(х) = -l-3x-x2+  CI cos(x) + _С2 ех + _СЗ

То же можно решить также и в два этапа:

>eqn:=diff(у(х),х$3)-diff(у(х),х$2)+

 

diff(у(х),х)-у(х)=х~2+х:

у(х) = -l-3x-x2+  CI cos(x) + _С2 ех + _СЗ

Этот результат совпадает с ответом, полученным в примере п. 18.5. А

V         Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения четвертого порядка

У(4)-У' = 8е*,

удовлетворяющее условиям

2/(0)     1,   у'(0)=0,   у"(0) = 1, у"'(0)=0.

Решение. Обозначим заданное дифференциальное уравнение через eqn и решим его:

>eqn:=diff(у(х),х$4)-у(х)=8*ехр(х): >dsolve(eqn,y(x));

1-3 (еж)2 + cosxex + 2 smxex + 2хе2х ех Vх '

В полученной дроби поделим числитель на знаменатель: >expand(");

е~х - 3 ех + cos х + 2 sin х + 2 х е2 х

(вообще команда expand(11) раскрывает скобки).

Этот результат совпадает с ответом, полученным в задаче 2 п. 18.5. А

С помощью команды dsolve можно решать и дифференциальные уравнения, рассмотренные в гл. 17

V         Пример 3. Решить уравнение Бернулли

ху - у = х3у2.

Решение.

>dsolve(x*dsolve(diff (у(х) ,х) -у=х~3*у~2,у(х));

1   _ _1 ж4-4_С1 у(х)        4 х

Результат вычисления совпадает с ответом

_ 4ж У~ АС-х"

приведенным при изучении уравнения Бернулли. А

Экономический план можно представить себе как численное решение конкретной системы уравнений общего равновесия.

В. Леонтьев

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |