Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

Глава 19 системы дифференциальных уравнений 19.1.  основные понятия

••• , Уп), ••• , Уп),

Совокупность уравнений вида

'dyi      * / -^ = /i(*. VU V2,

(19.1)

 

^Уп     £     (

= Jn{x, Уи 1/2,       , Уп),

 

где у і, У2-) Уп — искомые функции от независимой переменной ж, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка. Всякая совокупность п функций

1/1 =1/1 (ж),     У2 = У2(х),   Уп=уп(х) (19.2)

называется решением системы (19.1) в интервале X, если она обращает все уравнения системы (19.1) в тождества, справедливые при всех значениях х из интервала X. Процесс нахождения решений системы называется интегрированием этой системы. График решения (19.2) называется интегральной кривой системы (19.2).

Система уравнений (19.1) разрешена относительно производных от искомых функций. Поэтому ее называют еще системой дифференциальных уравнений в нормальной форме или нормальной системой.

Задача Коши для нормальной системы (19.1) ставится так: найти решение (19.2), удовлетворяющее начальным условиям {условиям Коши)

УХ (ж) = ух (ж0),     У2 (х) = У2(хо),           Уп (х) = Уп (ж0) ,

где жо — заданное число. Геометрически ищется интегральная кривая, проходящая через данную точку

(ж0, Уі(хо), У2(хо), ••••> Уп(жо)).

Рассмотрим нормальную систему вида (19.1), где ж — время, а У5 2/2, ••• 5 ~~ координаты точки n-мерного пространства. Это пространство будем называть фазовым пространством. В случае п = 1 фазовое пространство есть ось Ох; при п = 2 — плоскость (ж, у) — фазовая плоскость.

Всякое решение

У1 =1/1 (ж),     У2 = У2(х),    Уп=уп(х) (19.3)

(интегральная кривая) системы (19.1) представляет собой за-движения точки в фазовом пространстве. Поэтому решение (19.3) называют просто движением, определяемым системой дифференциальных уравнений (19.1), а путь, описываемый точкой в фазовом пространстве, — траекторией этого движения.

Левые части системы (19.1) суть составляющие (по осям координат) скорости движения точки. Поэтому система (19.1) задает так называемое поле скоростей движений, так что точка может проходить в момент времени х через положение

{УЪ У2, ... , Уп)

только с заданной скоростью. Требуется найти сами движения и изучить их свойства.

Если скорость, с которой точка проходит через положение

{УЪ У2, ... , Уп),

не зависит явно от момента времени прохождения, т. е. система (19.1) имеет вид

' dyi      , ( -J- = ПУЪ У2, ... , Уп),

dy2       , / ч

^ = /2(г/ь2/2, ...,у„), (194)

 

, ^ = /п(УЪ 2/2, ••• , Уп), она называется стационарной или автономной системой.

Если правой части нормальной системы линейно зависят от искомых функций

Уъ    У2, Уп, т. е. эта система имеет вид

^ = Рп(х) уг + pi2{x) г/2 + .» + Pin(x) уп + Л (ж), ^7 = Р2і(х) уг + Р22(х) г/2 + ... + Р2п(х) уп + /2(ж),

 

(19.5)

 

du

= Рпі(х) Уі + Рп2(х) У2 + ■■■+ Рпп(х) Уп + fn(x),

 

она называется линейной системой.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |