Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

19.2.  система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Из линейных систем (19.5) наиболее важными, как в теории, так и в приложениях, являются системы с постоянными коэффициентами:

' dyi     р /

-j- = Pll Уі + Р12 У2 + -.. + Ріп Уп + /і (ж),

 

^7 = Р21 Уі + Р22 У2 + -.. + Р2п Уп +         g б^

dyn dx

= Pnl Уі + Рп2 У2 + -.. + Рпп Уп + fn{x),

где функции fi(x) (і = 1, 2, ... , n) обычно предполагаются непрерывными в некотором интервале X.

Если все (ж) = 0, то система (19.6) называется однородной, в противном случае — неоднородной.

В матричной форме однородная система выглядит следующим образом:

 

 

/1/1

 

/Рп

Р12 •

• Р1п

/3/1

 

d

У2

 

Р21

Р22 •

• Р2п

У2

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

Уп/

 

Рп1

Рп2 •

• Рпп/

Уп)

 

По-другому ее можно записать в следующем виде:

Подпись:
где г, j = 1, 2, ... , п.

В более компактной форме последнюю формулу можно записать так:

dY

dx

(19.7)

 

 

где Y =

(уЛ

У2

 

 

искомый вектор, а Р — численная матрица

 

Уп/

размера п х п.

Чтобы найти решение системы (19.7), введем пробную функцию

Y = Ze

к х

где

 

Z =

 

Подставим ее в левую часть равенства (19.7). Получим

Подпись: = к Z еdY _ d(Zekx)

dx dx Отсюда и из (19.7) вытекает, что

PZekx = kZekx

к х

или

Р Z = к Z.

Полученное уравнение — это уравнение на собственные векторы квадратной матрицы. Использование единичной матрицы Е дает уравнение на собственные числа квадратной матрицы

det(P- кЕ) = 0,

которое называется характеристическим уравнением.

Если все п корней kj характеристического уравнения различны и Zj — соответствующие вектора матрицы Р, то общее решение системы (19.7) имеет вид

 

Y = J2CjZjek^,

г=0

где j = 1, 2, ... , п.

V Пример 1. Найти общее решение однородной автономной системы

dy2 dx

= 2yi + У2.

= 0;

 

Решение. Решаем характеристическое уравнение

1-к 2

det(P-kE) =

1-к

(1-к)2 -4 = 0;       &i = -l,    к2 = 3. Общее решение имеет вид

У = Ci Zie-x + C2Z2 е3х. Для определения собственного вектора

 

Zi =

*12.

соответствующего собственному значению к = —1, решаем систему

PZx = kx Zi, которую можно записать так:

 

Отсюда или

/2(^11 + ^12) = 2(2Г11 + z12)J

Так как определитель этой системы равен нулю, то система имеет бесчисленное множество решений. В данном случае можно выбрать zu = 1, a Z12 = — 1, т. е. можно считать, что

 

Zi =

 

Для определения собственного вектора

 

соответствующего собственному значению к = 3, решаем систему

PZ1 = fciZi,

которую можно записать так:

<*<'-*»*>=С Г Д) (£)=•■

Отсюда

/2(-z2i + *22)

^2(^21-^22); и-

Так как определитель этой системы равен нулю, система имеет бесчисленное множество решений. В данном случае можно выбрать z\ = 1, a z±2 = 1, т. е. можно считать, что

Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид

Ч:;Н(-')™2СЬ

это означает, что

У1 = С1Є-Х + С2е3х,   у2 = -СіЄ-х + С2е3х. ▲

 

Последняя однородная система может быть решена и другим способом — приведением к однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами.

V Пример 2. Найти общее решение однородной автономной системы

 

приведением к дифференциальному уравнению второго порядка.

Решение. Продифференцируем обе части первого уравнения по переменной х:

d2yi _ dyi dy2 dx2      dx dx

Заменим в полученном уравнении правой частью второго уравнения системы:

d2yi     dyx       ( .

+ 4У1 + 2у2. (19.8)

 

или

d2yi = dyi dx2 dx

Из первого уравнения системы находим у2:

1 dVi     1        (ла а

У2=2^~2У1- (19-9)

Подставим в (19.8) вместо у2 в правую часть (19.9), получим

d2yi     dy!      fl dy! 1

откуда

Подпись: d2Vi     о dyi dx2 -2-^-3У1 = 0.

dx

Это обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение. Так как характеристическое уравнение

k2-2k-3 = 0

имеет корни

= -1-     &2 = 3,

то

2/1 = Сге-Х + С2е

Зж

(19.10)

Найдем ^р- и подставим в (19.9). Получим

^1 = ± (С1Є-Х + С2еЪх) = -С1Є~Х + 3 С2еЪх-

 

1 dyi 1

 

= I (-Сге-Х + 3 С2е3х) - і (С1Є-Ж + С2е3ж) =

= -Сіе-ж + С2е3ж.

Отсюда и из (19.10), получаем

 

Методом приведения к одному линейному дифференциальному уравнению можно решать и неоднородные системы.

V Пример 3. Найти общее решение неоднородной линейной системы

^ = -8!/i + 3i/2 + 5e-*,

dy2 dx

= -18^/1 + 7у2 + 12е"

приведением к дифференциальному уравнению второго порядка.

Решение. Продифференцируем обе части первого уравнения по переменной X.

d2yi =   g гіг/і    3 rig/2 5с-ж

гіж2     гіж гіж

о d2/2

Заменим в полученном уравнении правой частью второго уравнения системы:

= "8 ^ + 3 (-18 уі + 7 у2 + 12 е~х) - 5 е"*,

или

 

Из первого уравнения системы находим у2'-

» = ї(^+8»-»«-)- <1912>

Подставим в (19.11) вместо у2 в правую часть (19.12) и, приведя подобные члены, получим уравнение

 

Решаем вначале однородное дифференциальное уравнение

d2yi + dyi _ 2     = 0 гіж2 гіж

Так как характеристическое уравнение

&2 + Л - 2 = О

имеет корни

Лі = -2,    &2 = 1,

то

1/1 одн = СіЄ-2ж + С2ЄЖ.

Пусть уї = А е~х] тогда уї' = — Л е~ж и щ" = А е~х. Подставив эти значения в (19.13), находим Л = 2 и, следовательно,

УГ=2е-*.

Тогда

Уі = Уі од„ + УГ = Сі е"2ж + С2 е* + 2 е"ж. (19.14)

Чтобы найти 2/2 5 продифференцируем обе части последнего равенства:

dyi

1- = -2С1е~2х + С2ех -2е~х.

dx

Найденное выражение для        подставим в (19.12). Получим

У2 = 2СіЄ-2х + ЗС2еж + 3е"ж. Отсюда и из (19.14), получаем

 

Задача. Решить систему уравнений

dy_ dx dy2 dx

 

= 3 yi + 4 y2

двумя способами: 1) с помощью характеристического уравнения; 2) сведением к дифференциальному уравнению второго порядка.

Ответ:

 

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |