Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

1.5.  обратная функция

Рассмотрим функцию у = х2. Выберем у

произвольное значение у = b > 0. Этому

значению функции соответствуют два зна-          b

чения аргумента х = — а и х = а на интер- V

вале (—оо, +оо) и одно значение х = а на  V.

интервале (0, +оо). ~а

Говорят, что функция у = х2 необрати-ма на интервале (—оо, +оо) и обратима на интервале (0, +оо).

Определение 1. Функция у = / (ж), определенная на промежутке X, называется обратимой на промежутке X, если любое свое значение она принимает только в одной точке этого промежутка; иными словами, если любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции:

xi ф х2 =Ф f(xi) ф f(x2).

Если под промежутком X рассматривается область определения функции, то, говоря об обратимости функции, слова «на промежутке X» обычно опускают. Выражения «функция у = х2 необратима, а функция у = х обратима» означают, что функции являются необратимыми или обратимыми на своей области определения.

Теорема 1. Если функция у = f(x) строго монотонна на промежутке X, то она обратима на этом промежутке.

□ Пусть у = f(x) возрастает на X. Тогда из х < х<х следует f(xi) < f{x2)- Таким образом, различным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима. ■

Наглядную иллюстрацию этой теоремы дает функция у = = х2. Она не является строго монотонной и необратима на своей области определения, но возрастает и обратима на интервале (0,+ос).

Определение 2. Пусть функция у = f(x) обратима на промежутке X и отображает X в Y. Поставим в соответствие каждому у из Y то единственное значение ж, при котором f(x) = у. Тогда получим функцию, которая определена на У, а область ее значений есть X. Эта функция называется обратной для функции / и обозначается

Из теоремы 1 следует, что для любой монотонной на X функции у = f(x) существует обратная функция. Чтобы найти ее, нужно из уравнения у = f(x) выразить х через у.

V         Пример 1. Для функции у = х2, если ее областью определения считать всю числовую ось, нет однозначно определенной обратной функции. Причина заключается в том что, у = 4, например, принимает значение в двух точках х = 2 и х = —2, поэтому в точке у = 4 обратную функцию нельзя определить однозначно. Для ветви функции у = х2, определенной в интервале (0, оо), обратной функцией является у = л/х . Для функции у = х2, рассматриваемой на полупрямой (—оо, 0], обратной является функция у = —л/х. А

вал

7Г 7Г

ция у = arcsin х.

V         Пример 2. Для определения однозначной «ветви» функции, обратной функции у = sin ж, выберем один из интервалов монотонности синуса. Обычно принято рассматривать интер-

в котором обратной для у = sin х является функ-

Аналогичным образом можно определить однозначные «ветви» функций, обратных функциям у = cos ж, у = tg ж, у = ctg х. А

 

Построение графика обратной функции

у

График обратной функции получается из графика самой функции зеркальным отражением относительно прямой у = х. Это основано на том, что зеркальным отражением точки (а, Ь) относительно прямой у = х является точка (6, а).

Весь анализ бесконечных вращается вокруг переменных величин и их функций.

Л. Эйлер

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |