Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

Глава 20 разностные уравнения 20.1.  основные понятия

Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений.

Пусть время t выступает как независимая переменная, а зависимая переменная определяется для времени      — 1,£ — 2ит. д.

Обозначим через yt значение в момент времени t; через yt-i — значение функции в момент, сдвинутый назад на единицу (например, в предыдущем часу, на предыдущей неделе и т.п.); через yt-2 — значение функции у в момент, сдвинутый на две единицы назад, и т. д.

Уравнение

«О Уі + «1 Уі-1 + CL2 Уі-2 +      + Сіп Уі-п

(20.1)

где ао, аі, ..., ап — постоянные, называется разностным неоднородным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение

«0 Уі + «1 Уі-1 + «2 Уі-2 + -.. + Сіп Уі-п = 0,

(20.2)

в котором f(t) = 0, называется разностным однородным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решить разностное уравнение п-го порядка — значит найти функцию yt, которая обращает это уравнение в верное тождество.

Решение, в котором отсутствует произвольная постоянная, называется частным решением разностного уравнения; если же в решении есть произвольная постоянная, то оно называется общим решением.

Можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1. Если однородное разностное уравнение (20.2) имеет решения yi(t) и г/2(^)? то решением будет также функция

 

 

где С и С2

Уот = Ci yi(t) + C2y2(t), произвольные постоянные.

Теорема 2. Если y(t) — частное решение неоднородного разностного уравнения (20.1) и y(t. Сі, С2, ... , Сп) — общее решение однородного уравнения (20.2), то общим решением неоднородного уравнения (20.1) будет функция

y(t) = y(t, Си С2, ...,Cn) + y(t),

где Сі, С2,       Сп — произвольные постоянные.

Эти теоремы сходны с теоремами для дифференциальных уравнений.

Системой линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами pij называется система вида

Yt = PYt.1 + Fu

где   Yt =

3/2 (<)

вектор   из   неизвестных функций,

 

Ff =

h (t)

 

fn(t)J

вектор из известных функций,

 

 

р =

/Pll Pl2 Р21 Р22

 

Рп1 Рп2

Р1п Р2п

 

Рпп/

есть матрица размера п х п.

Эта система может быть решена сведением к разностному уравнению п-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений.

14 Я. М. Ахтямов

20.2.  Решение разностных уравнений

Решение разностного уравнения первого порядка.

Рассмотрим неоднородное разностное уравнение

yt-ayt-i = f{t). (20.3)

Соответствующее однородное уравнение есть

yt-ayt-! = 0.     (20.4)

Проверим, будет ли функция

ytoAu = а1

решением уравнения (20.3). Имеем

Vt-i одн = а*-1. Подставляя в уравнение (20.4), получаем

а1 -аа1~х = а1 - а1 = 0.

Следовательно, yt 0дн —     есть решение уравнения (20.4). Общее решение уравнения (20.4) есть функция

У t одн — С а1,

где С — произвольная постоянная.

Пусть yt — частное решение неоднородного уравнения (20.3). Тогда общее решение разностного уравнения (20.3) есть функция

 

yt = ytom + yt = Ca +yt.

Найдем частное решение разностного уравнения (20.3), если f(t) = с, где с — некоторая постоянная.

Будем искать решение в виде постоянной т. Имеем

yt = m,       yt-i = т.

Подставив эти постоянные в уравнение

yt - ayt_x = с,

получаем

т — am = с,

откуда

Следовательно, общее решение разностного уравнения

 

Уг ~ ayt-i = с

есть

Подпись: 1 - ауг = Са* +

с

 

V Пример 1. Найти с помощью разностного уравнения формулу прироста денежного вклада Л в Сбербанке, положенного под р \% годовых.

Решение. Если некоторая сумма уо положена в банк под сложный процент р, то к концу года t ее размер составит

Подпись:
Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решение

Подпись:
где С — некоторая постоянная, которую можно рассчитать по начальным условиям.

Если принять уq = А, то С = Л, откуда

Подпись:
Это известная формула подсчета прироста денежного вклада, положенного в Сбербанк под сложный процент. А

Решение разностного уравнения второго порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение второго порядка

yt+pyt-i + qyt-2 = f(t)

(20.5)

и соответствующее однородное уравнение

Уг +РУі-і + ЧУ1-2 = 0.

(20.6)

Если к ф 0 является корнем уравнения

к2 +р к + q = 0,

(20.7)

то функция

У t одн

= к

t

есть решение однородного уравнения (20.6).

Действительно, подставляя к1 в левую часть уравнения (20.6) и учитывая (20.7), получаем

к1 + pkt~1 +qkf-2 = kt-2(k2+pk + q) = 0.

Таким образом, если к — корень уравнения (20.7), то к1 — решение уравнения (20.6).

Уравнение (20.7) называется характеристическим уравнением для уравнения (20.6).

Если дискриминант р2 — 4q характеристического уравнения (20.7) больше нуля, то уравнение (20.7) имеет два разных действительных корня к и &2, а общее решение однородного уравнения(20.6) имеет следующий вид:

УюАн = Сг к! + С2Ц.

Общее решение неоднородного уравнения (20.5) таково:

Vt = Vt одн + Vt = Сі к[ + С2 к + yt,

где yt — частное решение неоднородного уравнения (20.5), а С и С2 — произвольные постоянные, которые можно вычислить по начальным условиям, например, у(0) = уо, у(1) = у.

V Пример 2. Найти решение разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уг "5ш-1 +6^-2 = 7,

удовлетворяющего начальным условиям

Уо = 5,    у = 9.

Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного разностного уравнения таково:

k2 -5к + 6 = 0.

Корни уравнения к = 2, к2 = 3 действительны и различны. Следовательно, общее решение однородного разностного уравнения есть функция

yt = Сі2* + С23*.

Предположим далее, что yt = c есть частное решение неоднородного уравнения, тогда

с — 5с + 6с = 7,

откуда

2с = 7; с=-.

Таким образом, общее решение заданного неоднородного уравнения есть функция

yt = Cl2t + C23t+7-.

Постоянные С и С2 определяем по начальным условиям Уо = 5,       у = 9. Для t = О и t = 1 соответственно получаем

5 = С12° + С23°+7-,      9 = С121 + С231+7-.

Решая систему уравнений

2 Сі + З С2 =

11

находим

Сі = -1, Поэтому в итоге имеем

Со =

Математика — это искусство давать разным вещам одно наименование.

Анри Пуанкаре

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |