Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

21.2.  рост населения земли и истощение ресурсов

Дифференциальное уравнение (21.1) было предложено Мальтусом в 1798 г. для прогнозирования роста населения Земли. Постоянная к в социальных и биологических науках именуется мальтузианским коэффициентом линейного роста.

МАЛЬТУС (Malthus) Томас Роберт (1766-1834), английский экономист, основоположник мальтузинанства, утверждавшего, что темпы роста населения значительно превышают темпы увеличения средств существования (их соотношение, в первоначальной формулировке Мальтуса, выводилось из сравнения геометрической и арифметической прогрессий). В современных условиях проблемы, связанные с быстрым ростом народонаселения в развивающихся странах, служат основанием для периодического оживления модифицированных форм мальтузианства.

V Пример (истощение ресурсов). В настоящее время для обеспечения пищей одного человека необходима площадь 0,1 га. На земном шаре 4000 млн га пахотной земли. Поэтому население его должно быть, если не учитывать в будущем новых источников пищи, ограничено количеством 40000 млн человек.

Когда будет достигнут этот предел насыщения населения, если оно непрерывно растет со скоростью 1,8 \% в год?

Решение. Согласно формуле (21.2), закон роста населения можно выразить следующим образом:

y(t) = yQ ехр(рі/100).

За t = 0 возьмем 1999 год, когда население Земли составило 6 • 109 человек. Тогда

y(i) = 6-109e°>018i.

Ищем такое £, чтобы

y(t) = 40- 109.

Тогда

40 • 109 = 6 • 109 e0'018*,

откуда

э0,018£

40 • 10у 6-Ю9 w 6,667.

Логарифмируя последнее равенство, имеем 0,018t«ln6,667 « 1,897,

откуда t « 105 лет.

Итак, примерно в 2104 г. мир достиг бы предела насыщения, если бы сохранился темп роста населения. А

Решение уравнения (21.1) выражается с помощью экспоненциальной функции ekt, которая очень быстро возрастает. График этой функции представлен на рис. 21.1.

Если t растет в арифметической прогрессии, т. е. принимает возрастающую последовательность значений

* = 0,    £ = 0 + 1 = 1,    4=1 + 1 = 2,    4 = 2 + 1 = 3,

то соответствующие значения ekt образуют геометрическую прогрессию

1,    q,    q2, q3,

где q = ек. Поскольку к > 0, имеем q > 1. Откуда следует, что ekt —> +оо при t —> +оо (вспомните восточную легенду о вознаграждении, потребованном изобретателем шахмат).

Из решения этой задачи видно, что согласно модели Мальтуса население Земли растет очень быстро. Говоря о росте населения ученые употребляют термин «демографический взрыв». Этот термин вполне уместен, поскольку рост населения описывается тем же дифференциальным уравнением, что и ядерный взрыв. (Число распадов ядра при цепной реакции растет экспоненциально, столь же быстро растет и выделяемая энергия: y(t) —> +оо при t —» +оо.)

Таким образом, согласно Мальтусу, человечество находится в ловушке — если оно не наладит регулирования рождаемости, то оно обречено на безработицу, голод и обнищание широких масс.

 

21.3.  Рост денежного вклада в Сбербанке

Как было отмечено выше, денежная сумма на денежном вкладе в Сбербанке подчиняется закону естественного роста. Поэтому функция (21.2) может быть использована для приближенной оценки накопившейся в Сбербанке суммы.

V Пример (рост денежного вклада в Сбербанке). В

какую сумму обратилась бы копейка в 2000 году, если бы ее положили в сберегательный банк в первый год нашей эры под 5 \% годовых? Предполагается, что денежные реформы не проводятся, а приращение начисляется непрерывно.

Решение. Так как скорость изменения денежного вклада составляет 0,05 от накопившейся суммы, то коэффициент к = = 0,05. Поэтому соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид

y'(*) = 0,05y(t).

Решением является функция y{t) = 1 • е0'05

При t = 2000 получим у(2000) = 1 • е0'05'2000 = е100 « « 2,688 • 1043 коп. или 2/(100) « 2,688 • 1041 руб. А

Полученное число содержит 41 цифру. Значит, речь идет о сумме, которая намного превосходит все денежные запасы земного шара.

Этот пример поучителен тем, что позволяет понять одну из причин денежных реформ. Действительно, сберегательные банки во избежание инфляции не должны сильно увеличивать денежную массу государства; долги же сбербанков населению, как мы увидели, очень быстро растут. Поэтому порой и возникает необходимость в проведении денежных реформ.

 

21.4.  Инфляция и правило величины 70

В экономической теории при изучении понятия темпа инфляции приводится так называемое правило величины 70. Оно позволяет быстро подсчитать количество лет £, необходимых для удвоения уровня цен. Надо только разделить число 70 на ежегодный уровень инфляции р \%:

 

t = 70/р.

 

Например, при ежегодном уровне инфляции в 5 \% уровень цен удвоится через 14 (70/5) лет. При 10 \%-й инфляции уровень цен удвоится через семь (70/10) лет. При инфляции в 12 \% уровень цен удвоится примерно через шесть (70/12) лет. Правило величины 70 может быть использовано и в случае, когда нужно установить, сколько потребуется времени, чтобы удвоились личные сбережения в Сбербанке.

V Пример (вывод правила величины 70). Вывести правило величины 70 и ответить на вопрос: почему в правиле фигурирует именно число 70, а ни какое-либо другое?

Решение. При ежегодном уровне инфляции в р \% коэффициент пропорциональности к будет равен р/100. Поэтому общий уровень цен согласно уравнению естественного роста можно вычислять по формуле

y(t) = уо exp(pt/100).

При удвоении уровня цен будем иметь:

2!/о = !/(*),

2 уо = уо ехр(р£/100).

Найдем, теперь, количество лет £, необходимых для удвоения уровня цен. Для этого выразим из последней формулы t. В результате получим

_ 100-In2 Р

Поскольку In 2 « 0,7, можно принять, что

t « 70/р.

Формула получена. В числителе этой формулы стоит 70, так как 100 • In 2 « 70. Если бы речь шла об утроении цен, то в числителе соответствующей формулы стояло бы не 70, а 110, так как в этом случае имели бы

t= (100-1пЗ)/р,

а 100 -1пЗ« ПО. А

Задача. Сумма уо положена в Сбербанк под 10 \% годовых. Через сколько лет внесенная сумма возрастет в три раза, если приращение начисляется непрерывно.

Ответ: Через 11 лет.

Заметим, что число денежных единиц всегда выражается целым числом. Поэтому изменение денежной массы является разрывной функцией от времени, и, казалось бы, при выводе правила величины 70 нельзя применить модель, основанную на понятии производной. Но при достаточно большой денежной массе эту разрывную функцию можно с достаточной точностью приблизить дифференцируемой функцией (экспонентой). Сделанная при этом ошибка оказывается малой. Поэтому инфляционные процессы довольно точно описываются уравнением естественного роста.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |