Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

21.6.  рост в социально-экономической сфере с учетом насыщения

В соответствии с законом Мальтуса (21.1) численность населения должна расти экспоненциально, что не всегда справедливо, ибо не согласуется с реальностью. Хотя имеющий в настоящее время место «демографический взрыв» представляет собой серьезную опасность для человечества, дифференциальное уравнение (21.1), разумеется, слишком упрощенно изображает реальную ситуацию, и его решение далеко от истинного течения процесса. При использовании моделей естественного роста в социальных науках надо иметь в виду, что темпы роста, описываемые первоначально экспоненциальной функцией, в дальнейшем замедляются, наступает период насыщения. Экстраполяция этих показателей при условиях естественного роста часто приводит к заведомому абсурду. Например, рост числа научных работников в индустриально развитых странах в недавнем прошлом описывался экспоненциальной функцией. Экстраполяция привела бы к тому, что уже в ближайшие десятилетия численность научных работников должна была бы превзойти население страны.

Для преодоления противоречия с реальностью необходимо принять во внимание эти факторы и соответствующим образом модифицировать модель роста.

Дж. Кьютелет предположил, что к в уравнении (21.1) должна быть не постоянной, а убывающей функцией, зависящей от y(t):

y'(t) = k(y)y(t). (21.5)

На основании этого в 1836 г. его ученик Ферхюльст предложил использовать для роста населения уравнение

 

(21.6)

 

т. е. считать, что

k(y) = a(l-f-).

 

V Пример 1 (рост населения Земли с учетом насыщения). Определить как будет меняться рост населения Земли y(t) в условиях насыщения.

Решение. Согласно Ферхюльсту величина y(t) в условиях насыщения удовлетворяет дифференциальному уравнению (21.6). Решим это уравнение. Разделяя переменные в уравнении (21.6), находим

dy

= a dt,

М)

или

+ у-^-— ) dy = a dt.

Проинтегрировав это соотношение, имеем

In y-  - у = at + In |С|,

т. е.

У =Ceat.

b-y

Отсюда получим, что

(+ bCeat

(21.7)

 

Таким образом, рост в условиях насыщения описывается функцией (21.7). А

График функции (21.7) называется логистической кривой. Он изображен на рис. 21.2.

Из этого рисунка хорошо видно, что при малых t логистический рост схож с естественным ростом, однако при больших t

Подпись: a t
l + CeQ

характер роста меняется, темпы роста замедляются. При t —> +оо кривая асимптотически приближается к прямой у = 6, поскольку

- = (-) =

at ooJ

(ЬСеаіУ

lim y(t) =   lim    ^ ^6

= lim

= lim

t^+oc * v J      t^+oc 1 + Се

a t

bCaea

t^+oc (i _|_ Ceat)f     t^+oc Cae

 

 

= b.

Прямая y(t) = b является стационарным решением уравнения (21.6) и соответствует случаю к (у) = а ^1 — ^~j^J — 0- Значит, для модели (21.6) объем выпускаемой продукции в единицу времени стремится к конечному значению b («взрыва» не происходит) .

Модель Ферхюльста применяется и к другим социально-экономическим явлениям. Рассмотрим ее применение в сфере экономического роста.

V Пример 2 (рост выпуска продукции в условиях конкуренции). Найти закон роста продукции в условиях конкуренции и насыщаемости рынка.

Решение. По условию задачи, происходит насыщаемость рынка. Согласно Ферхюльсту величина y(t) в условиях насыщаемости удовлетворяет дифференциальному уравнению (21.6). Поэтому рост продукции y(t) в условиях насыщаемости рынка будет также описываться уравнением Ферхюльста и соответствующее решение выражаться формулой (21.7). А

В п. 21.5 была описана модель Харрода-Домара, согласно которому экономика имеет устойчивый темп роста. В реальности происходит замедление темпов экономического роста. Так, если период с 1948 по 1973 г. был периодом быстрого экономического роста США, при этом ежегодные темпы производительности труда, например, составляли 2,43 \%, то с 1973 по 1983 г. производительность труда увеличивалась только на 0,75 \% в год. Поэтому логистический рост более точно описывает развитие экономики, чем модель Харрода-Домара.

V         Пример 3 (обеспеченность новым товаром). Найти закон обеспеченности новым необходимым товаром (удельный вес семей или людей, владеющих данным товаром) с течением времени.

Решение. Спрос на необходимые товары с течением времени возрастает: сначала медленно, затем быстро и, наконец, снова замедляется за счет насыщения. Это значит, что скорость увеличения спроса прямо пропорциональна обеспеченности и насыщению товаром. Если b — насыщенность товаром (предельное значение обеспеченности товаром), то зависимость обеспеченности от времени выражается дифференциальным уравнением

^ = ky(b-y), (21.8)

т. е. скорость увеличения обеспеченности ^ пропорциональна

достигнутой обеспеченности у и необеспеченности (Ь — у).

Легко заметить, что уравнение (21.8) является уравнением Ферхюльста, записанным в другой форме. А

V         Пример 4 (модель «социальной диффузии»). Определить как с течением времени меняется число сторонников некоторого новшества.

Решение. Рынок информации, так же как и рынок товаров, подвержен насыщению. Поэтому число сторонников новшества изменяется согласно закону Ферхюльста. В определенный момент времени наступает насыщение и эффективность от рекламы и агитации снижается. Количество сторонников некоторого новшества с течением времени стремится к постоянному числу. А

В социальных науках уравнение Ферхюльста используется для описания распространения в определенных социальных группах образцов поведения, моды, информации (рекламы), культурных новшеств. Правда, при изучении социальных групп, это уравнение чаще именуют уравнением Дж. Коулмена, который применительно к социальным группам уточнил смысл коэффициентов а и b из уравнения Ферхюльста. Он предложил следующее уравнение:

Подпись:
где у — число сторонников новшества в данный момент времени; b — общая численность рассматриваемой группы; /3 — число контактов, завязываемых каждым сторонником новшества в единицу времени; ф — коэффициент, меняющийся от 0 до 1 и отражающий то, что не каждый контакт сторонника с не сторонником предполагает агитирование последнего, а также то, что не каждая агитация заканчивается успехом.

Отметим, что эмпирические исследования 1) подтверждают, что распространение сторонников новшеств изменяется согласно уравнению Ферхюльста (Коулмена).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |