Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

21.10.  паутинообразная модель рынка

Опишем еще одну модель, учитывающую запаздывание во времени. Эта модель позволяет исследовать устойчивость цен и объемов товаров на рынке.

Будем предполагать, что производители зерна определяют предложение s (supply) товара в текущем периоде на основе цены р (price), установившейся в предшествующем периоде, а спрос d (demand) на товар изменяется в зависимости от цены в данном периоде. Предположение о запаздывании предложения от цены вполне объяснимо. Действительно, решение об объеме производства принимается с учетом текущих цен, но производственный цикл имеет определенную продолжительность, и соответствующее этому решению предложение появится на рынке по окончании данного цикла.

Если спрос и предложение линейно зависят от р, то динамика цены описывается следующими уравнениями:

s(t) = ap(t - 1) + 6,

d(t) = —mp(t) + п.

Здесь п > b > О, так как при нулевой цене спрос превышает предложение; а > О, так как функция предложения возрастающая; т > О, так как функция спроса убывающая.

Таким образом, если спрос s(t) равен предложению d(t), то получим линейное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

mp(t) + ap(t — 1) = п — I).

Частным решением этого уравнения является константа

_     п — b

V = —— •

т + а

Решая характеристическое уравнение т Л + а = 0, находим его а

корень Л =     .

т

Общее решение разностного уравнения имеет вид

р(') = с

Следовательно, динамика цен носит колебательный характер.

При этом, если — < 1, то (——) —^0 (t Є N) и p(t) —> p. Последовательность цен сходится к равновесному состоянию.

При т = а значения p(i) чередуются вокруг равновесного значения р.

„       а . Если — > 1, то т

V га)

—> оо (равновесие неустойчиво). В ре-

альности бесконечно возрастающих колебаний не происходит, так как при больших отклонениях от равновесия линейные зависимости спроса и предложения от цены становятся нереалистичными. В более реалистической нелинейной модели устанавливаются колебания большой, но конечной амплитуды.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |