Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

§ 2.4. способ нахождения обратной матрицы

Теорема. Для любой невырожденной матрицы А существует обратная матрица А~х.

Докажем теорему и одновременно дадим способ нахождения обратной матрицы.

Рассмотрим теорему с более общих позиций: будем решать матричное уравнение

АХ = В,

где А и В — две данные матрицы, а X — неизвестная матрица. В частном случае, когда В = Е, матрица X будет обратной к А.

 

Способ решения уравнения АХ-Е

Пусть А — невырожденная матрица. Приведем ее с помощью элементарных преобразований над строками к единичной матрице Е (возможность такого приведения будет доказана). Если затем те же самые преобразования применить к строкам матрицы В, то получим искомую матрицу X.

Заметим, что нет необходимости специально запоминать преобразования, совершенные над А, чтобы проделать их над В. Вместо этого можно приписать к А (например, справа) матрицу В:

(АВ)

и выполнять преобразования сразу над «сдвоенной» матрицей. После того как левая половина приведется к Е, правая приведется к искомой матрице X.

Доказательство. Для сокращения записей будем считать л=3. Обозначим столбцы матрицы В через Ьх, b2, Б3 и рассмотрим каждую из следующих трех систем уравнений:

Ах-Б,, Ах = Ь2, Ах-Ъ3, (2.3) /v-Л

где х обозначает матрицу-столбец

х3

Будем решать эти системы поочередно одну за другой, применяя метод Гаусса.

(2.4)

Начнем с первой системы:

Ах = Ь

В процессе преобразований не может появиться противоречивое уравнение

О     +0 -х2 + 0 х3 = Ь (гдеЬ*0),

ибо при элементарных преобразованиях над строками матрицы А она должна оставаться невырожденной (см. лемму § 2.3 ), а в невырожденной матрице, как уже говорилось, не может быть нулевых строк. По тем же причинам не может появиться уравнение

О • х, + 0 • х2 + 0 ■ Ху= 0,

т. е. число уравнений в системе меняться не будет. Но в таком случае мы должны после ряда шагов прийти к системе из трех уравнений, где каждому уравнению соответствует свое базисное неизвестное, т. е. к системе вида

(2.5)

31

= с21

х, = с

Заметим, что матрица из коэффициентов при неизвестных в этой системе есть единичная матрица Е. Отметим этот факт особо: невырожденная матрица А приводится кЕ с помощью элементарных преобразований над строками.

Обозначим столбец свободных членов в системе (2.5) через с,. Поскольку система (2.5) равносильна исходной системе (2.4), имеем:

Ас1 = Ъ .

Обратимся ко второй из систем (2.3):

ЛС|= Ъ2. (2.6)

Если те же самые элементарные преобразования, что использовались для решения системы (2.4), применить и здесь, то получим решение системы (2.6), т. е. такой столбец с2, что Ас2 = Ь2. Аналогично получим столбец с3, Ас3 = Ъ3.

Итак, имеем:

Acl=bl, Ас2-Ьг, Ас3 = Ъ3 . (2.7) Составим из столбцов с,, с2, с3 матрицу С:

сп сі2 с\: Л С- с2[  с22 с2:

сз  с32 сзз j

Тогда вместо трех равенств (2.7) можно записать одно:

АС = В,

т. е. С—искомая матрица. Причем, каквидноиз наших рассуждений, каждый ее столбец с, получается из соответствующего столбца Ь,

с помощью тех же самых элементарных преобразований, что переводят матрицу А в единичную.

Итак, мы обосновали указанный способ нахождения матрицы X

и тем самым доказали существование обратной матрицы А~] для любой невырожденной матрицы А. Сформулируем отдельно способ нахождения матрицы А~].

 

Способ нахождения обратной матрицы

Пусть А — невырожденная матрица. Припишем к ней (например, справа) единичную матрицу Е. Далее с помощью элементарных преобразований над строками «сдвоенной» матрицы (А | Е) приводим А («левую половину») к единичной матрице Е. Тогда на месте первоначально приписанной матрицы Е окажется матрица А~х. 42

Заметим, что из самого способа нахождения матрицы А 1 легко

следует, что матрица, обратная для А~х, есть А. Действительно, проделав преобразования, переводящие А в Е, в обратном порядке

из м атрицы Е получим A, am А 1 — матрицу Е. Это означает, что А есть обратная матрица для А~ т. е. А~{А = Е.

3^

О

1

Пр имер 1. Для матрицы

А =

2 2 1 -1 -1 2

найти обратную матрицу А'

Воспользуемся описанным выше способом нахождения А~ . При этом нет необходимости специально проверять невырожденность матрицы А. Это будет вытекать из самой возможности приведения А к Е. Действительно, если элементарные преобразования, приводящие А к Е, проделать в обратном порядке, то из матрицы Е получим А. Но матрица Е — невырожденная (это очевидно). Следовательно, и матрица А —невырожденная.

1 0^

о о

0   0 1

Г і -і     о

2  2      3

-1  2     1

0          1          0Л

1          -2         0

0   1     1

Итак, составим матрицу

 

( 2

2

3

1

 

0

°1

 

1

-1

0

0

 

1

0

->

-1

2

1

0

 

0

1

 

V

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

f

1

-1

0

 

 

 

->

 

0

4

3

 

 

 

 

 

0

1

1

 

 

 

V

 

 

 

(закончен 1-й этап преобразований: первый столбец матрицы, стоящий левее вертикальной черты, принял вид первого столбца матрицы Е);

Подпись: Правее вертикальной черты получилась обратная матрица А~

(1

-1

0

0

1

°1

 

г

1

0

1

0

2

1 Ї

 

->

0

1

1

0

1

1

—>

 

0

1

1

0

1

1

->

 

0

ч

4

3

1

-2

0

)

 

 

0

0

-1

1

-6

-4

)

 

-1

(закончен 2-й этап преобразований);

Пример 2. Решить уравнение

 

( 1

2

°1

 

( 3

1

0)

1

3

2

Х =

-1

6

3

-2

V

-4

-1

 

3

ч

-3

1

где X — неизвестная матрица 3x3.

о

2

0 0-1

0^ 3 1

1 0Л 5 3 -1 1

Решение. Имеем

-10 5 -1

'12 0 2

'10 0 0 1 о 0   0 1

V

-25 -5 14 -9

Правее вертикальной черты получилась искомая матрица

Х =

1<Л 3 5 1 -1

До сих пор мы ничего не сказали о возможности существования обратной матрицы в случае вырожденной матрицы А. Для этого случая справедливо следующее предложение.

Для вырожденной матрицы А не существует обратной матрицы.

Кратко наметим доказательство. Если матрица А вырождена, то между ее строками существует линейная зависимость. Но тогда, как следует из правила умножения матриц, точно такая же зависимость имеется и между строками матрицы АВ, где В — какая угодно матрица.

Действительно, пусть, например, между строками а1,в2.—. а„ матрицы А существует такая зависимость:

 

За, - 5аг + 2а3 = 0 . (2.8)

Обозначая столбцы матрицы В через b],b2,...,bn и умножая скалярно обе части равенства (2.8) на вектор bj, где_/—любоеиз чисел 1, 2 , ..., и, будем иметь

 

3(5,, bj) - 5(а2, bj) + Щ, Ц = 0,

т. е.

Зс,7.-5ся,. + 2Сз/. = 0, (2.9)

где Cjj — элементы матрицы С=АВ. Наличие равенства (2.9) при всех

j - 1, 2 , .. ., и означает, что между строками матрицы С существует зависимость

3 с, - 5 с2 + 2 с3 = 0.

 

т. е. точно такая же зависимость, что и между строками матрицы А.

Если теперь предположить, что существует матрица А~], то это означало бы, что точно такая же зависимость, какая существует

между строками матрицы А, существует и между строками АА~Х, т. е. между строками единичной матрицы Е. Между тем строки матрицы Е линейно независимы.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |