Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

§ 2.6. понятие определителя порядка п. основная теорема об определителях

 

Каждой квадратной матрице «хяпо определенному закону ставится в соответствие некоторое число А, называемое определителем матрицы А или просто определителем л-го порядка.

Следующие четыре параграфа посвящены определению и свойствам определителя, а также применениям определителей к различным задачам линейной алгебры.

= аи-а

Определитель 2-го порядка вводится при помощи формулы:

 

(2.12)

22

311 «12

h а22

а определитель 3-го порядка

а

12

*11

J21

формулой

а*. -

'22 °23

12 "23 "31

'13

(2.13)

'33

аи ап а3з + а,3а2і азг + а

'31 "32

-а,3 а22 а31 - а,, а23 д32- ап а2, а33 . Запомнить формулу (2.13) можно с помощью двух схем:

 

+

На левой схеме соединены линиями каждые три элемента определителя, произведение которых входит в правую часть (2.13) со знаком «+»; на правой схеме показаны произведения, входящие со знаком«-».

Чтобы подметить общую закономерность в выражениях (2.12) и (2.13) и на этой основе сформулировать определение определителя любого порядка л, необходимо ввести понятие минора и алгебраического дополнения.

Чи Чп

Рассмотрим определитель л-го порядка:

 

а11 а12

И1 =

Если воспользоваться понятием алгебраического дополнения, то формулы (2.12) и (2.13) можно записать в следующем виде:

А = аиАи+а12А12   (п = 2) (2.12')

A = auAli+al2Al2 + al3Ali      (1 = 3) (2.13')

Равенства (2.12') и (2.13') проверяются непосредственно, поскольку при л = 2 имеем Аи = а22, АХ2 = -й2|, а при л = 3

Чг "23

= а22 Я33 ~ а23 а32-

Выделим в нем какой-то определенный элемент йц. Вычеркнем из определителя строку и столбец, в которых расположен элемент а

V

т. е. 1-ю строку и /-Й столбец. Останется некоторый определитель (п-І)-го порядка. Этот определитель называется минором элемента а(]-в определителе Аи обозначается М,у. Например, в случае определителя 4-го порядка

 

 

Ап = -Мх2 = -

 

^13 = М13 =

 

 

аг азз

а21 а22

 

 

= °23 а31 ~а2 а33'

 

= а21 °32_а22 ЯЗГ

 

-10       3          7

2   3     7          1

0   2     3          -1

имеем

-1 0 -2—3-

0          2

1          -1

1-1       2          4

М23 =

= -8-14+1=-21

 

-10 7

2-1

-1 4

Разумеется, определение минора можно признать пока только условным, поскольку само понятие определителя порядка л введено только для случаев л = 2 и л = 3.

 

Определение 1. Алгебраическим дополнением элемента atj

в определителе А называется число

АіГ(-рМІГ

Например,

Формулы (2.12') и (2.13') подсказывают, каким должно быть определение определителя любого порядка п.

(2.14)

Определение 2. Определителем матрицы А называется сумма произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения:

А = а]ХАц+а]2А12 + - + апАїп-

Поскольку определители 2-го и 3-го порядков уже определены, формула (2.14) позволяет находить определители 4-го порядка, затем 5-го и т. д.

Например,

 

 

1

0

3

4

 

 

 

 

 

 

5 2

2 3

1 4

6 5

=

 

+ 0Л, 2 + ЗЛ,з + 4Л, 4

 

6

1

2

3

 

 

 

 

 

 

2

1

6

 

 

5 2

6

 

5   2 1

 

3

4

5

+ 3

-2 3

5

-4

-2   3 4

 

1

2

3

 

 

6 1

3

 

6   1 2

48

4—1700

= -2

З 5 1 З

+ 6

З 4 1 2

4          5

+ 3

-2

+ 6

-2         5

6          З

-2         4

6          2

І -2      З

6          1

-2         З

6          1

2          3 J

■4 5

-2

+ J

3          5

1          З

З          4

1          2

= -(2-2-44-6-2) + 3(5-4-2(-36) + 6(-20)) - 4(5-2-(-28)+1(-20)) = -280.

В данном выше определении определителя первая строка играет особую роль. Между тем если обратиться к выражению (2.13) для определителя 3-го порядка, то увидим, что его можно записать и в таком виде:

«21^21 + а22^гг+ «гз^гз-

а также в виде

а31Ам+а32А32 + а33А33.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |