Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

§ 2.7. свойства определителей

 

Ниже речь будет идти о свойствах двоякого рода. С одной стороны, мы укажем ряд действий над определителем, которые не меняют его величины или умножают его на -1; с другой стороны, будут указаны некоторые признаки равенства определителя нулю.

Свойство 1. Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.

Для доказательства достаточно разложить определитель по элементам данной строки.

Свойство 2. При перестановке любых двух строк определитель умножается на-1.

Ограничимся рассмотрением определителя 3-го порядка. Возможны два случая:

1) Переставляются две соседние строки, например, первая и вторая. Положим

Это делает правдоподобной гипотезу: определитель равен произведению элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

Оказывается, что такая гипотеза не только правдоподобна, но и просто верна. Справедлива следующая теорема.

Основная теорема об определителях. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, для определителя и-го порядка при любом і (і = 1, 2 , .. ., и) справедливо равенство

(2.15)

А = ап Ап + ааАі2 + ... + аіпАіп. Доказательство основной теоремы не приводится.

Равенство (2.15) называется разложением определителя по і-й строке. С его помощью нахождение определителя А и-го порядка сводится к нахождению ряда миноров, т. е. определителей (п-І)-го порядка. Каждый из последних выражается через определители (л-2)-го порядка и т. д. В целом получается все же громоздкая процедура. Однако ее можно сильно упростить, если воспользоваться знанием свойств определителей.

Д' =

«п «зі

Подпись: я23 а13
а33
Подпись: агг «12 «згПодпись: а
«23 «зз
М2 "13

Д =

221 а22 231 «32

+ а

- а

*23 а33

«21 «31

"23 а33

«22 а32

Необходимо доказать, что А' = -Д. Для этого разложим определитель Д по первой строке, а Д' — по второй строке. Получим

«21 «22

а31 а32

Итак, Д' = -Д.

2) Переставляются две несоседние строки, а именно, первая и третья. Такую перестановку можно осуществить в три шага: сначала переставить первую строку со второй; затем вторую строку с третьей; наконец, снова первую строку со второй. При каждом шаге определитель умножается на -1. Так как шагов — три, т. е. нечетное число, то в итоге получаем Д' = -Д.

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.

Действительно, пусть в определителе А і-я строка совпадает с 7-й. Поменяв эти строки местами, получим определитель Д', ничем не отличающийся от А, т. е. Д' = Д. С другой стороны, в силу свойства 2 должно быть Д' = -Д. Отсюда Д = -Д, т. е. Д = 0.

Свойство 4. Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.

Например,

Свойство 6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк прибавить другую строку, умноженную на какое угодно число.

Например,

 

«11+*«21

ап + ка22

«13 + /с«23

 

«11

«12

«13

«21

«22

«23

=

«21

«22

«23

«31

«32

«33

 

«31

«32

«33

Для доказательства применим к определителю, стоящему слева, свойство 5. Найдем, что этот определитель равен

 

«и

«12

«13

 

ка2

кап

ка2г

«21

«22

«23

+

«21

«22

«23

«31

«32

«33

 

«31

«32

«33

С в ойство 5. Если элементы некоторой строки определителя Д представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух определителей Д( и Д2. В определителе А, указанная строка состоит из первых слагаемых, в Д2 — из вторых слагаемых. Остальные строки определителей Ах и Д2 — те же, что и в А.

Например,

Второй из этих определителей равен нулю, так как после вынесения за знак определителя общего множителя к элементов первой строки получается определитель с двумя одинаковыми строками.

Свойство 7. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равна нулю.

Например, в случае определителя третьего порядка

«11   «12 «13

Подпись: А =

й11 +с11

Й12 + с12

й13 + с13

 

 

ьг

Ь)3

 

с11

С12

с13

«21

«22

«23

=

«21

«22

«23

+

«21

«22

«23

«31

«32

«33

 

«31

«32

«33

 

«31

«32

«33

Для доказательства разложим определитель, стоящий слева, по первой строке. Получим сумму

(fcn + сі і)А11 + Фп + сг>А12+ (*із + съ>Аіз или, после раскрытия скобок,

(ЪиАи +ЪпАп + ЬхгА1ъ) + (си Аи +с,2Л12 + с,з'Л,з).

Первая из этих двух сумм равна первому из определителей справа, вторая сумма равна второму определителю.

52

(2.16)

ї23Л13-0.

21 Аи + а

22 ^ 12

справедливо равенство

а

'21 *2|

Д' =

Слева стоит сумма произведений элементов второй строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам первой строки. Для доказательства (2.16) рассмотрим определитель

'22 "23

'31

который равен нулю в силу свойства 3.

Разлагая его по элементам первой строки, получим:

0 = д21 а'и + a22A'l2 + a2iA'l2,

где а'п,а'п,а'и — алгебраические дополнения для элементов первой строки в определителе Д'. Но, очевидно, что а'п=аи, А'г~Аъ А< .ъ = лм> откуда и следует равенство (2.16).

Свойство 8. Определитель матрицы а равен определителю транспонированной матрицы а т:

л = а

т. е. определитель не меняется при транспонировании. Доказательство не приводится.

Из свойства 8 следует, что любое из свойств определителя остается справедливым, если в его формулировке заменить всюду слово «строка» словом «столбец». В частности, справедлива следующая теорема-аналог основной теоремы для столбцов.

Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любого столбца на их алгебраические дополнения.

Это означает, что при любом / = 1, 2, и, где и — порядок определителя, справедливо равенство

A = auAu + a2iA2i +... + ani Ani,    (2.17)

называемое разложением определителя по і-му столбцу.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |