Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

§ 2.9. применения определителей

 

1. Необходимое и достаточное условие невырожденности матрицы

Напомним, что квадратную матрицу А мы назвали невырожденной, если ее строки линейно независимы, и вырожденной в противном случае. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Матрица А {квадратная) невырождена тогда и только тогда, когда ее определитель А не равен нулю.

Доказательство. Пусть А | * 0, докажем, что А невырождена. Предположим, рассуждая от противного, что А — вырожденная матрица. Тогда между ее строками а,,а2,...,ал имеется линейная зависимость, т. е. одна из строк линейно выражается через другие.

Пусть, например,

а( = За2 - 5а$.

Прибавив тогда к первой строке определителя вторую строку, умноженную на -3, и затем третью, умноженную на 5, получим определитель с первой строкой

а, - За2 + 5а3 = 0,

который равен нулю. Так как при указанных преобразованиях величина определителя не изменилась (свойство 6 § 2.7), то имеем А = 0, что противоречит условию. Итак, в одну сторону теорема доказана.

56

Пусть теперь матрица А невырождена. Докажем, что И1*0. Рассуждая от противного, допустим, А = 0. Как мы уже видели (см. доказательство теоремы из § 2.4), невырожденную матрицу с помощью элементарных преобразований над строками можно привести к единичной матрице Е. В данном случае речь идет о следующих преобразованиях:

а)         перестановка строк;

б)         умножение строки на число X # 0;

в)         прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на

любое число.

Еще один вид элементарных преобразований, а именно — вычеркивание нулевой строки , здесь невозможен (в невырожденной матрице не может быть нулевых строк). Рассмотрев каждое из преобразований а), б), в), нетрудно убедиться, что при любом из них определитель остается равным нулю. Следовательно, Щ = 0. Но это невозможно, так как определитель единичной матрицы равен 1. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

2. Формула для обратной матрицы

Мы уже располагаем некоторым способом нахождения обратной матрицы (§ 2.4). Но можно указать и формулу для А~1. Для краткости рассмотрим матрицу А размера 3x3:

 

 

(«п

«12

«із"

А =

«21

«22

«23

 

ч«31

«32

«33 у

Составим новую матрицу

 

 

 

 

^1,

Ап

 

А* =

A2i

 

А 23

 

/зі

Л 32

Аъъ

где Аг, как и раньше, обозначает алгебраическое дополнение для

элемента а(- в определителе А|.

Матрицу А* называют обычно присоединенной для А.

Т е op ем а. Если А * 0, то матрица

 

 

(2.18)

Решение. выкладки:

Приведем без комментариев соответствующие

 

|Л| = -1*0,

Подпись: --1; Ап-= 5; А1г = -= 3; Л33 =Подпись: 1	О
-1	1
2	3
-1	1

2	3
1	О
Подпись: 1	-1 -1 2

2	2 -1 2

2 2 1 -1
Подпись: -1 О 2 1

2 3 2 1

2 3 -1 О
является обратной для А.

Доказательство. Необходимо проверить, что AQ = Е. Имеем:

Произведение двухматриц, записанных справа, обозначим временно через Си покажем, что С= Действительно, подсчитаем любой из «диагональных» элементов матрицы С, например сп:

с,, =аи Аи + al2Al2 + ai3Al3.

Полученная сумма даетразложение определителя А | по первой строке и потому с |, = А|. В то же время любой «недиагональный» элемент матрицы С равен нулю. Например, с, 2:

 

с,2 = аи Л2) + апА22 + азА23,

но последняя сумма равна нулю на основании свойства 7 § 2.7 определителей. Итак, мы видим, что С = А Е, следовательно,

1

AQ = ~A)E = E.

= 1;

= -6;

Ап =

'31

--1; Ап-= 4; Л22 =

-1   4 3^ -15 3 1 -6 -4

= 3; Ayi = -

А* =

 

ґ-1 -1 1л 4 5-6 3 3-4

Ґ  1   -4 -ЗЇ 1   -5 -3 -16 4

 

3. Формулы Крамера для системы пхп

Для сокращения записей рассмотрим случай я = 2. Итак, пусть дана система

 

І а2хі + а22хг = ь2

Теорема доказана.

или в матричной записи:

Пример. Проверить, что матрица

АХ=В,

(2.19)

где

А =

О

1

1 -1 -1 2

является невырожденной, и найти по формуле (2.18) матрицу А 58

 

А =

 

v°21    а22 ,

 

; Х=

 

х1

2 J ; В =

Предположим, что матрица А является невырожденной: |Л|*0. Тогда существует обратная матрица А~ равная

ИІ

ґ Аи А21 Al2 А22

ЪЛ

'11

*21

 

Умножив обе части уравнения (2.19) слева на А 1, получим:

ИІ

Х=А~ХВ-.

^ АП   А22 j

т. е.

А{ =

 

Полученные выражения для неизвестных допускают интересную интерпретацию. Рассмотрим наряду с матрицей А еще две матрицы:

21 у?

 

и "12

кьг а22 j

—каждая из них получается из А заменой соответствующего столбца столбцом В. Тогда будем иметь:

Al = blAu+b2A22 (разложение определителя А ,| по первому столбцу) и

х, =

Mil ИІ

A2 = blAl2 + b2A22 (разложение по второму столбцу). Таким образом,

■; х2 -

И_2І

ИГ

Правило Крамера для системы и х л

Пусть дана система АХ = В п линейных уравнений с п неизвестными. Если АФ 0, то система имеет единственное решение:

XlM   Х,М       ХМ (2.20)

1 иг 2 ИІ              " иг

где Aj означает матрицу, полученную из А заменой У-го столбца

столбцом В (i = 1, 2   л).

Формулы Крамера (2.20) имеют скорее теоретическое, чем

практическое значение, так как для нахождения хх         хп требуется

вычислить и+1 определителей: А, АХ,..., Ап, что при достаточно больших п является громоздким делом.

 

4. Необходимое и достаточное условие существования ненулевого решения однородной системы пхп

В § 1.5 уже говорилось о важности решения такого вопроса: имеет ли данная однородная система линейных уравнений ненулевые решения? Для однородной системы пхп справедлива следующая теорема.

Т е ор е м а. Однородная система п х п.

АХ=0

имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда А = 0, т. е. когда матрица А — вырожденная.

Доказательство. Пусть система имеет ненулевое решение, Докажем, что А = 0. Если бы это было не так, то по правилу Крамера система должна была бы иметь единственное решение Х= 0, что противоречит условию.

Пусть А = 0. Докажем, что существует ненулевое решение. Для сокращения записей положим и = 2, т. е. рассмотрим систему

Написанные формулы носят название правила Крамера для системы 2x2. Аналогичным путем можно получить правило Крамера для системы и х п.

а11*1+а12*2 = 0 а2 х1+а22 *2 = °

Ґ А_( а\   а12 Л

v       v 2.

(2.21) 61

Так как А = О, то и А т = 0 (свойство 8 определителей § 2.7), а значит, матрица

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |