Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

§ 3.1. модель леонтьева многоотраслевой экономики

 

Эффективное ведение нар одного хо зяйств а предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой — как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями пользуются определенного вида таблицами, называемыми таблицами межотраслевого баланса. Идея таких таблиц была сформулирована в работах советских экономистов, а первая таблица опубликована ЦСУ в 1926 г. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась позже (1936 г.) в трудах американского экономиста В. Леонтьева . В данном учебнике излагается наиболее простой вариант такой модели, сохраняющий, однако, ее основное математическое содержание.

Предположим, что вся производящая сфера народного хозяйства разбита на некоторое число п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт, причем разные отрасли производят разные продукты. Разумеется, такое представление об отрасли является в значительной мере абстракцией, так как в реальной экономике отрасль определяется не только названием выпускаемого продукта, но и ведомственной принадлежностью своих предприятий (например, данному министерству, тресту и т. п.). Однако представление об отрасли в указанном выше смысле (как «чистой» отрасли) все же полезно, так как оно позволяет провести анализ сложившейся технологической структуры народного хозяйства, изучить функционирование народного хозяйства «в первом приближении».

 

Итак, предполагаем, что имеется п различных отраслей О,Оп, каждая из которых производит свой продукт. В дальнейшем отрасль 0{ будем коротко называть «і'-я отрасль». В процессе производства

своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Будем вести речь о некотором определенном промежутке времени [Т0, Т{] (обычно

таким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения:

Xj — общий объем продукции отрасли і за данный промежуток

времени — так называемый валовой выпуск отрасли і;

jc(y — объем продукции отрасли і, расходуемый отраслью j в процессе производства;

yt — объем продукции отрасли /, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере — объем конечного потребления. Этот объем составляет обычно более 75\% всей ігооюведеннойїгоодукции. В него входятсоздаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т. д.), поставки на экспорт.

Указанные величины можно свести в таблицу.

 

Производственное

Конечное

Валовой

потребление

потребление

выпуск

Х\     х2 ■ ■ ■ хп

У

*1

х2]   хп ■ ■ ■ х1п

У2

хг

Хп     хп2 ■ ■ ■ хпп

Уп

хп

Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом і = 1,п должно выполняться соотношение

хі = хп+хі2 + ...+хіп+уі, (3.1)

означающее, что валовой выпуск х( расходуется на производственное потребление, равное хп +хі2 + ... + *,„, и непроизводственное потребление, равное yt. Будем называть (3.1) соотношениями баланса. 64

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы и т. п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостной баланс.

В. Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в предвоенный период, обратил внимание на важное обстоятельство.

ХУ

А именно, величины а,у = — остаются постоянными в течение ряда

х)

лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой технологии.

В соответствии со сказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объема Xj продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли / в количестве a^Xj, где    — постоянный

коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует, как говорят, линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяется и на другие виды издержек, например на оплату труда, а также на нормативную прибыль. Итак, согласно гипотезе линейности имеем

xij = aijxj QJ = 1         ")• <3-2)

Коэффициенты а,у называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).

В предположении линейности соотношения (3.1) принимают вид: xl = alixl+al2x2 + ... + alnxn+yl х2 = а21 х1 + а22 х2 + ... + а2и хп +у2

 

хп = ап х+апгхг + - + атхп+Уп> ' или, в матричной записи,

х = Ах+у, (3.3)

где

Вектор х называется вектором валового выпуска, векторе — вектором конечного потребления, а матрица А —матрицей прямых затрат. Соотношение (3.3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов х и у это соотношение называют также моделью Леонтьева.

Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода [Т0, ТХ] задается вектор у конечного

потребления. Требуется определить вектор х валового выпуска. Проще говоря, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений (3.3) с неизвестным вектором х при заданных матрице А и векторе у. При этом нужно иметь в виду следующие особенности системы (3.3):

Все компоненты матрицы А и вектора у неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А и у). Для краткости будем говорить о неотрицательности самой матрицы А и вектора^ и записывать это так: А £ 0, у S 0.

Все компоненты вектора х также должны быть неотрицательными: х > 0.

Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов a(j прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом случае из (3.2) видно, что   совпадает со значением х^ при х - =1(1 руб.).

Таким образом, есть стоимость продукции отрасли і, вложенной в 1 руб. продукции отраслиj. Отсюда, между прочим, видно, что стоимостной подход по сравнению с натуральным обладает более широкими возможностями. При таком подходе уже необязательно рассматривать «чистые», т. е. однопродуктовые, отрасли. Ведь и в случае многопродуктовых отраслей тоже можно говорить о стоимостном вкладе одной отрасли в выпуск 1 руб. продукции другой отрасли; скажем, о вкладе промышленной сферы в выпуск 1 руб. сельскохозяйственной продукции или о вкладе промышленной группы А (производство средств производства) в выпуск 1 руб. продукции группы В (производство предметов потребления). Вместе с тем надо понимать, что планирование исключительно в стоимостных величинах может легко привести к дисбалансу потоков материально-технического снабжения.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |