Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

§ 3.6. собственные векторы неотрицательных матриц

Особенность матрицы А в модели Леонтьева, а также в модели международной торговли состоит в том, что все элементы этих матриц неотрицательны. В этом случае говорят, что А — неотрицательная матрица, и пишут А > 0. Среди неотрицательных матриц выделяют положительные матрицы А > 0, все элементы которых строго больше нуля. В модели международной торговли мы ищем положительные собственные векторы. Напомним, что вектор X называется положительным (неотрицательным), если все его компоненты X, > 0 (соответственно Xj £ 0).

Теорема Фробениуса-Перрона

Пусть А — неотрицательная квадратная матрица. Тогда:

Максимальное по модулю собственное значение ХА матрицы А неотрицательно. Среди собственных векторов, принадлежащих ХА, имеется неотрицательный вектор.

В случае А > 0 все неотрицательные собственные векторы матрицы А положительны и принадлежат только ее максимальному по модулю собственному значению ХА . Кроме того, в этом случае любые два положительных собственных вектора х и у отличаются лишь числовым множителем у = ойс .

Доказательство утверждения 1 приводить не будем. Докажем утверждение 2 теоремы.

Установим сначала некоторое свойство скалярного произведения.

Лемма. Для любых двух векторов-столбцов х и у из R" и любой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство:

(Ах,у) = (х,АТу).

Для доказательства сначала заметим, что скалярное произведение векторов-столбцов а и b может быть записано в виде произведения матриц: либо как атЪ, либо как Ьта. На этом основании можно записать:

(Ах, у) = (Axfy = (хтА т)у = хт(А ту) = (х, А ту).

Продолжим доказательство теоремы. Пусть А = (аф > 0 — положительная матрица, х>0 — неотрицательный ненулевой вектор. Рассмотрим произведение Ах. Пусть (Ах), — ;-я координата вектора Ах. Тогда

(Ах), = а,-,*, + ai2x2 +... + аіпхп.      (3.18)

Так как вектор х>0 и х*0, то какая-то его координата, скажем, хк > 0. Так как А > 0, то aik > 0 и aikxk > 0. Кроме того, все слагаемые в правой части (3.18) неотрицательны, поэтому (Ах), > 0. Следовательно, Ах > 0.

Пусть х > 0 — собственный вектор положительной матрицы А, Ах = Хх. По определению собственного вектора имеем х * 0, поэтому

Ах > 0 . Следовательно, X > 0. Откуда х = Х~1Ах > 0.

Пусть l*Xa — собственное значение матрицы А, отличное от максимального по модулю собственного значения. Пусть у — собственный вектор А, принадлежащий собственному значению х. Рас-смотрим транспонированную матрицу А . Из свойств определителя следует, что характеристическое уравнение матрицы А совпадает с характеристическим уравнением матрицы А: действительно,

АТ-ХЕ = А -ХЩ,

поскольку определитель не меняется при транспонировании. Следовательно, ХА является максимальным по модулю собственным

значением матрицы А 7 > 0. Из утверждения 1 теоремы Фробениуса-Перрона следует, что существует неотрицательный вектор р, такой, что Атр- ХАр. Выше было доказано, что неотрицательный собственный вектор положительной матрицы является положительным. Поэтому в действительности р > 0. Рассмотрим скалярное произведение (р, Ау). Имеем

(p,Ay) = (p,W) = v(p~J), (ЗЛ9) (р, Ау) = (А тр, у) = (ХАр, у) = ХА(р, у). (32°)

Так как р. Ф ХА, то одновременное выполнение (3.19) и (3.20) означает, что (р, у) = 0. Имеем

Piyi+P1y2 + -+Pnyn = Q- (3-21)

83

Поскольку р > 0 , вектор у не может быть неотрицательным. Действительно, если yz 0, то все слагаемые в левой части (3.21) неотрицательны и, по крайней мере, одно слагаемое положительно (напомним, что у — собственный вектор, поэтому у * 0), что противоречит равенству нулю всей суммы.

Таким образом, мы доказали, что все неотрицательные собственные векторы положительны и принадлежат только максимальному по модулю собственному значению.

Пусть хну — положительные собственные векторы положительной матрицы А. Рассмотрим я отношений:

 

У±  Уг       Уп (3-22)

 

Ук

Пусть а =        наименьшее (или одно го наименьших) среди

к

отношений (3.22). Тогда для /-Й (і = 1, 2, .... п) координаты вектора

so.

2=у-<ХХ ИМееМ

Уі Ук)

2і=Уі-~хі = хі

Кк

Следовательно, z £ 0. Как было доказано выше, х и у принадлежат собственному значению ХА, поэтому

 

Аг = Ау- аАх = кАу - аХАх = ХА1.

Отсюда следует, что либо 1 = 0, либо z — неотрицательный собственный вектор матрицы А. Если 1 *0, то г > 0, что противоречит равенству

Ук

2к = Ук-а*к = Ук-—хк = (>-

лк

Поэтому z = 0 и у = ах. Теорема доказана полностью.

 

Определение. Максимальное по модулю собственное значение неотрицательной матрицы А называется числом Фробениуса матрицы А, а соответствующий ему неотрицательный собственный вектор — вектором Фробениуса для А.

Теорема Фробениуса-Перрона часто применяется при исследовании линейных экономических моделей. Посмотрим, например, как эта теорема может уточнить наши сведения о модели международной торговли. Напомним, что модель международной торговли задается структурной матрицей А = (а(]), где а.у — доля импорта из страны і в бюджете страныj. Матрица Л > 0 и все ее столбцевые суммы равны 1.

Пусть х = (х,, xv..., xhj — вектор бюджетов стран-участниц; торговли. Основное уравнение имеет вид Ах = х. Таким образом, х — собственный вектор матрицы А, принадлежащий собственному значению 1. Возникает вопрос: будет ли 1 максимальным собственным значением?

Пусть? = (1, 1,1) — л-мерный вектор, все координаты которого равны единице. Так как все столбцевые суммы матрицы А равны 1, юАТе~ = ё. ПустьХ^—число ФробениусаматрицыЛ. Тогда найдется такой неотрицательный вектор у, что А у = ХА у.

Рассмотрим скалярное произведение (ё, Ау):

(ё,Ау) = (ё,-кАу) = ХА(ё,у), (3.23)

(e,Ay) = (ATe,y) = {ety). <3-24> Так как (ё, у) = УХ +У2 +... +Уп > 0, то из (3.23), (3.24) получаем

 

Л (ё,У)

Итак, 1 — максимальное собственное значение матрицы А. По теореме фробениуса-Перронаполучаем, что уравнение Ах = хвсегда имеет ненулевое неотрицательное решение х. Так как бюджет любой страны х( > 0, то интерес представляют только положительные решения х > 0 . В случае А > 0 существование положительного решения следует опять из теоремы Фробениуса-Перрона. В то же время если какая-то страна j не импортирует товары из страны і, то матрица А не является положительной (так как atj = 0). Можно ли утверждать существование положительного решения уравнения Ах = х в этом случае?

Для ответа на данный вопрос введем понятие цепочки импорта. Скажем, что страны /' и j связаны цепочкой импорта от і ку, если существует цепочка стран с началом в і и концом в j, в которой каждая последующая страна импортирует товары из предыдущей.

Подпись: Например, для матрицы
Подпись: 0,5	0	0	0,5 )
0,5	0,5	0	0
0	0,5	0,5	0
0	0	0,5	0,5 J
1 -*	4 ->	3 -> 2.

(3.25)

 

имеется такая цепочка

(3.26)

Теорема (о цепочке). Если в модели международной торговли структурная матрица А такова, что любые две страны і и jможно связать цепочкой импорта от і к у', то уравнение Ах = х имеет положительное решение х > 0, единственное с точностью до умножения на число.

Доказательство. Пусть п — число всех стран. Тогда любые две страны, которые можно связать цепочкой импорта произвольной длины, можно связать и цепочкой, в которой не более п стран. Действительно, любую цепочку можно сократить до желаемой длины, удалив все замкнутые петли. Если страны / и у можно соединить цепочкой импорта от /' к у, содержащей к стран (включая і и 7), то элемент j'-й строки и 7-го столбца матрицы Ак~] больше нуля, (^fc-1)^.>0. Это следует из того, что (Ak~])tj является суммой неотрицательных произведений вида

Jl'2     J1J1 Jk-lJk

по всем цепочкаму, -» у2      ... -■-» jk от /' к у (у, = і и jk = j). Например, для матрицы (3.25)

(3.27)

(Л3),2 = а\а\0г + ах xal2a22 + auanai2 + я, ,а,4а42 +

+ а 11а21 а2 + а12а22а22 + а2в23а32 + а-fil.fi П. +

+ йид31а|2 + а, ъаЪ2а22 + апагіаі2 +апаиа42 + + а14а41а|2 + а]4аЛ2а22 + a,^*^ + ахва^ап .

Все 16 слагаемых в правой части (3.27) неотрицательны, так как являются произведениями элементов неотрицательной матрицы А. Кроме того, по крайней мере одно слагаемое д|4а43а32 > 0 благодаря существованию цепочки (3.26). Отсюда следует, что (Л3)|2 > 0.

Пусть матрица А такова, что любые две страны і * у можно соединить цепочкой импорта. Как было отмечено выше, достаточно учитывать только цепочки, содержащие не более п стран. Следовательно, для такой матрицы А хотя бы одно из чисел

(А, (А  (А"~

больше нуля. Следовательно, при /' * j имеем

{А +А2+... + А"-])у >0.

Таким образом, у матрицы А + А + ... + Ап~ вне главной диагонали расположены только положительные числа. Добавив к этой матрице единичную матрицу Е, получим положительную матрицу

В = Е + А + Аг + ...+Ап'1>0.

Пусть х — собственный вектор матрицы А, принадлежащий собственному значению X. Тогда

Вх = (Е + А+Аг + ...+А"~1)х =х + Хх + Х2х + ...+Х"~1х =

= (l +Х+Х2+ ...+Х"~1)х,

т. е. вектор х одновременно является и собственным вектором матрицы В. Теперь теорема легко следует из доказанных выше утверждений и теоремы Фробениуса-Перрона. Действительно, 1 — максимальное собственное значение матрицы А, поэтому уравнениеЛх = х имеет неотрицательное решение х. Всякоетакоерешениех > 0 является одновременно собственным вектором положительной матрицы В, поэтому Зс > 0, т. е. уравнение Ах = х имеет положительные решения х. Пусть х, и х2 — два таких решения. Тогда х, и

х2 — положительные собственные векторы матрицы В > 0. Согласно второму утверждению теоремы Фробениуса-Перрона найдется такое число а, что Х| = оос2. Теорема о цепочке доказана.

Замечание. Пусть А — неотрицательная матрица размера пхп. Для того чтобы установить возможность соединения любых / и у (1 <,ij<ri) цепочкой чисел, в которой любые два соседних числа к и / таковы, что ак1 > 0, достаточно построить замкнутую цепочку, содержащую (возможно с повторениями) все натуральные числа от 1 до п. Например, для матрицы (3.25) имеется замкнутая цепочка

I -► 4     3 -> 2 -> 1. (3.28)

Поэтому для матрицы (3.25) любые два натуральных числа /и у (1 <, i,j <. 4) можно соединить цепочкой от і ку и оту к /', используя участки цепочки (3.28).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |