Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

§ 3.7. собственные значения матрицы леонтьева

 

Понятие собственного значения, а также понятие вектора Фробе-ниуса неотрицательной матрицы А позволяют по-новому подойти к вопросу о продуктивности модели Леонтьева.

Преждевсего ещераз заметим, что если Л —квадратная матрица, а А — транспонированная к ней матрица, то характеристические уравнения для А и Ат совпадают. Таким образом, собственные зна-чения матрицы А — те же, что и для А. В частности, числа Фробе-ниуса матриц А и А тоже совпадают.

Пусть А — неотрицательная квадратная матрица порядка п. Век-тор ФробениусарА матрицы А назовем левым вектором Фробениуса матрицы А.

Представляя рА как вектор-столбец, можем записать

 

или, после транспонирования,

fAA=XAfA. (3.30)

Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема. Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы.

Доказательство. Пусть матрица A (SO) — продуктивна. Тогда для любого вектора у (>0) существует решение х (SO) системы

Ах+у = х. (3.31)

Пусть у > 0, тогда, очевидно, Зс > 0. Умножив равенство (3.31) слева на матрицу-строку рА , получим с учетом (3.30)

^а(Ра^)+РаУ=Ра^

или

(-A)(fAx)=fAy.

Так как рА £ 0 и у > 0, х > 0, то рА у > 0, рА х > 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что ХА < 1.

Обратно, пусть матрица Л(а0) имеет число Фробениуса ХА<. Покажем, что она продуктивна. Зададим у (SO) и покажем, что у системы (3.31) существует решение х S 0. 88

U і

 

Умножая эту матрицу слева на (и+ 1)-векторр , где/? = (0,0,1),

легко убедиться, что

pTA=f.

Следовательно, одним из собственных значений матрицы А является Х= 1.

Пусть вектор Х=(хх,..., хп хп+{) = (х, хи+1) является собственным вектором матрицы А,т.е.АХ = XX. В силу определения матрицы А это равносильно тому, что

Vt-1

 

= х

(3.32) (3.33)

v J

или

' Ах+у -хп+]=Хх , хп+ ~ ^-"-n+l ■

Если X * 1, то из (3.33) следует, что хп+, = 0, в силу чего (3.32) примет вид Ах = Хх. Следовательно, X — собственное значение матрицы А и, по нашему предположению, |Х|<1. Таким образом, ХА = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно, является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор хА = (хА, х„+), соответствующий ХА = 1. Очевидно, что хп+1 * 0, так как в противном случае из (3.32) следовало бы, что Ах = х. А это противоречит тому, что число Фробениуса!^ < 1. Поэтому мы можем считать, что xn+l = 1 (очевидно,

что вектор      также является вектором Фробениуса). В силу того,

Хп+

что xn+l = 1, равенство (3.32) принимает вид:

аха+У = ха-

Поскольку хА = (хА, хп+1) > 0, то хА S 0. Следовательно, матрица А продуктивна.

Пример. Выяснить, при каких значениях а > 0 матрица

А = а

2 О

1 О 7   6 9

будет продуктивной.

Решение. Характеристический многочлен матрицы А будет

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |