Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

§ 4.1. арифметическое точечное пространство ап

Мы уже знакомы с понятием арифметического векторного пространства R". Элементы пространства R" — это арифметические векторы с я координатами, т. е. последовательности (Д|, а2,ал) из п чисел. Возможна, однако, и другая точка зрения на пространство R" — когда элементы R" истолковываются не как векторы, а как точки. Чтобы понять причину такой двойственности, следует учесть, что в случае обычного трехмерного пространства любой набор из трех чисел А|, а2,    можно истолковать двояко:

а-Х     2а 0 А-ХЩ=    1а     а-Х 0 1а      6а 9а-Х

 

 

(аиа2, аз)

вектор а

= (9а-Х)( (а-Х)2 - 4а2) = (9а-Х) (X2 -2аХ- За2), а характеристическое уравнение:

(9а-Х) (X2 - 2аХ - За2) = 0. Корни этого уравнения (собственные значения):

2lj = 9а, Х2 = За, А-3 = -а. Для продуктивности А согласно теореме необходимо и достаточно, чтобы было 9а < 1, т. е. а < ^. Например, при а =    получим продуктивную матрицу

А =

( 0,1    0,2   0 ^ 0,2   0,1 0 0,7    0,6 0,9

точка А

 

(предполагается, что в пространстве введена система координат). В соответствии с этим рассмотрим следующее определение.

Определение 1.   Любую последовательность   (а^,а2, ...,ап)

из п чисел будем называть арифметической точкой, а сами числа at,a2, ...,ап — координатами этой точки.

_В отличие от арифметических векторов, которые мы обозначали a, b и т. д., будем обозначать арифметические точки А, В,.... Например,

Л = (-1,6, 7,0)

— арифметическая точка, имеющая четыре координаты.

Точку (0, 0,..., 0) будем называть началом координат и обозначать О.

Определение 2. Пусть А и В — две арифметические точки с одним и тем же числом п координат:

А = (аьа2, ...,апХ В = (Ь1,Ь2, ...,Ьп).

Будем называть вектором А В арифметический вектор

(Ьгах,Ь2-а2,...,Ь-ап)

и говорить, что точка А есть начало, а точка В — конец вектора АВ.

 

Иначе говоря, координаты вектора АВ равны разностям между

соответствующими координатами конца и начала вектора.      

Очевидно, какова бы ни была точка А, координаты вектора OA совпадают с координатами самой точки А.

 

Определение 3. Множество всех арифметических точек с п координатами, в котором каждым двум точкам А и В указанным выше способом сопоставлен вектор А В Є Rn, называют п-мерным

арифметическим точечным пространством и обозначают А" (п-мер-ное аффинное пространство).

 

Теорема. Для любых трех точек А, В, С из А" справедливо равенство

АВ + ВС = А~С.

 

Доказательство. Имеем:

АВ^ф^,...^^^), BC = (crbl,...,cn-bn),

Лд + ЯС = ((й,-в,Жсгй|)        {Ьп-ипУг{сп-Ь^) = АС.

 

Одним из важнейших «геометрических» понятий, связанных с

пространством А", является операция, называемая .«откладывание вектора от точки».

Определение 4.   Пусть   А -(a]tап)  точка из  А" и

р = (Р] Р^} — вектор из В.". Отложить вектор р от точки А

означает найти такую точку В Є А", чтобы выполнялось равенство

(рис. 4.1)        

АВ=р.

А

 

Таким образом, имеем:

ОВ = ОА + А~В = ОЛ +р

 

или в координатах: координаты точки В получаются из координат точки А прибавлением соответствующих координат вектора р.

 

Обозначение. Если точка В получена откладыванием вектора р от А, то будем писать:Д = А + р.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |