Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

§ 4.3. различные виды плоскостей в пространстве ап

 

К числу основных «геометрических» образов в А", кроме прямых, относятся еще и плоскости. Однако если при и = 3 имеется лишь один вид плоскостей (плоскости в обычном понимании), то при и > 3 возможны плоскости различных типов: одномерные, двухмерные, трехмерные и т. д. плоскости.

о

Определение 1. Пусть к — натуральное число, X — фиксированная точка в А" и Р,Рі, - гРк — фиксированный набор линейно независимых векторов из R". Множество точек X вида 0

X=X+tlpl+t2p2+ ...+tkpk  . (4.5) где t,l2,...,tk — любые числа, называется k-мерной плоскостью в А".

К этому определению мы могли бы с самого начала добавить условие к < п. Действительно, в пространстве R" просто не существует линейно независимых систем векторов с числом векторов, большим,чем п. Случай к = и тоже не интересен, так как л-мерная

плоскость совпадает со всем пространством А". Действительно, если Р,р2, -чРп — линейно независимая система векторов в R", то это — базис в Л" и поэтому любой вектор/7 Є R" может быть представлен

Рис. 4.3

ті виде+ ... + tnpn. Но тогда имеем X =Х+ р, где р—любойвектор из R", т. е. X может быть любой точкой из А".

Итак, в определении /:-мерной плоскости в А" можно считать

\<к<п-1.

Особое значение имеют два вида плоскостей: одномерные (к = 1) и (и-1)-мерные (к = и-1), т. е. плоскости минимально возможной размерности и плоскости максимально возможной размерности.

Одномерные плоскости — это, очевидно, прямые в А". Плоскости размерности и-1 носят название гиперплоскостей.

Гиперплоскости в пространстве А3 — это обычные плоскости (рис. 4.4).

Доказательство (проведем его для случая и = 3, при п > 3 рассуждения аналогичны). Итак, пусть Г — гиперплоскость в Л3, т. е. множество точек X вида

о

X=X+t{px +t2P2 , (4.6)

где векторы />| ир2 линейно независимы. Переписав равенство (4.6)

в виде            

о          _ _

XX=tlpl+t1p2,

~о    _ _

мы видим, что векторы ХХ,р,р2 линейно зависимы. Но условием

зависимости трех векторов в Л3 является, как мы знаем, равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов. Полагая, что/>| =(а() а2, а3) и/?2 = (Рі» Рг> Р3). можем записать

Р2

Х3-Х3

о,

а,

(4.7)

 

Рз

Р.

(4.8)

или

Подпись: fl|X| + 02*2 + а3*3 + Ь = 0 факт: вектор а = (ах,а2, а3) перпендикулярен плоскости Г.
7—3700

Но мы привыкли к тому, что плоскость в обычном пространстве задается уравнением вида

+ а2х2 + «3x3 + Ь = О

(координаты обозначены Х,х2, х3, а нех, у, z, как обычно). Будет ли верно то же самое при любом и > 3? Оказывается, что да.

 

Теорема. Любая гиперплоскость в пространстве А" состоит из точек Х= (j£|, х2,хп), координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению первой степени:

а1х1+а2х2+ ... + апхп + b = О,

где й|, ...,anub — фиксированные числа, причем не все at,аправны

нулю.

96

где b - -fl|X^ - а2х2 - 03X5, что и требовалось получить.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |