Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

§ 5.3. случай линейной зависимости между переменными

 

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

что (при наличии матричного калькулятора) проще, чем последовательная подстановка двенадцати чисел 1,2, 12 в формулу (5.20). Изобразим векторы Y и Ґ в виде ломаных линий с вершинами в точках (1; j/,), (2; j»2>,(12;.v,2) и (1; у]), (2;у*^, ...,(12;і>|2) (рис. 5.1).

Рассмотрим теперь подробнее случай, когда многочлен Р(х) имеет степень I. Тем самым предполагается линейная зависимость между наблюдаемыми величинами х и у вида

у = а + $х.

Для определения коэффициентов аир можно воспользоваться сис-темой (5.11) § 5.2, которая с учетом новых обозначений а =р0, Р =Р приобретает вид

(А],А])а + (Ах,Аг)Р = (А], У), (А],А2)а + (А2,А2)Р = (А2, У),

где Л, =(1; 1;...; ),А2 = (хих2, ...,*„), Y=(y{,y2, ...,у„).

С использованием знака суммы I данная система записывается так:

(5.21)

Решая систему (5.21), находим

 

п

При анализе рис. 5.1 возникают следующие вопросы. Будет ли тенденция формулы (5.20) действовать хотя бы в январе 1993 г.? Можно ли таким образом строить прогнозы на будущее? Подставив х = ІЗвформулу (5.20), найдем у\^ = 580, тогда как на самом деле курс доллара в конце января 1993 г. составил только ухі = 572. Полученный прогноз оказался относительно удачным, однако следует ясно понимать, что прогнозирование любого экономического показателя только лишь по его прошлым значениям без учета других, связанных с ним индикаторов, крайне ненадежно.

(5.22)

^2

ве-

 

1=1

 

Пусть у = -Z у і•, х = -Z *,  — средние значения наблюдаемых

личин. Первое уравнение системы (5.21) эквивалентно

жх + пх$ = пу,

(5.23)

откуда находим

а = у - р х.

Итак, метод наименьших квадратов позволяет получить приближенную линейную зависимость

у = а + р х,

где а* и р* определены формулами (5.22), (5.23).

Рассмотрим числовой пример. Предположим, что у нас есть следующие данные о размерах покупок у и их розничной цене х для некоторого товара.

 

/, номер наблюдения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

у-р количество (в кг)

25

30

20

25

15

10

20

35

40

30

Xj, цена (в тыс. руб.)

14

12

15

14

18

20

16

12

10

13

Находим

Л2

10

10

10

= 20736, Z^, = 250, Х*Л = 3360-

i=l

i=i

10 10 £*,■= 144, Z xj = 2154,

1=1      1=1 1=1

V j

Используя (5.22), получаем

т т Л, =(1; 1;1) , А2 = (хих2, ■■■,*„) . Пусть Я — двухмерная плоскость в и-мерном пространстве, состоящая из всех линейных комбинаций векторов А и А2. С геометрической точки зрения метод

наименьших квадратов состоит в том, что ищется точка У*Є Я, расположенная ближе всего к заданной точке Y=(yx у2,-;Уп)-Пусть Y = (y,y, ...,у)=уА — и-мерный вектор, все координаты которого равны у — среднему значению наблюдаемой величины у. Так как вектор YY* перпендикулярен плоскости П, то треугольник

УУУ* — прямоугольный (рис. 5.2). Поскольку квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то

YY2=YY*2+Y*Y2, (5-25)

где _

YY2 = О, -у)2 + (у2 - у)2 + ... + (уп - у)2

так называемая полная вариация у;

уҐ2 = (у]-у)2 + (уІ-у)2 + ... + (у'п-у)2

вариация у вследствие зависимости у от х;

у*у2 = (у- у])2 + ІУг - Уг)1 + ■• • + (У„ - у'/

«собственная» вариация у или просто сумма квадратов ошибок.

2

Степень зависимости у отх оценивается с помощью показателя г :

.   Ю-ЗЗбО- 144-250 р     10-2154-20736 '

Вычислив средние значения х= 14,4 и у = 25 по формуле (5.23) найдем

а* = 25-(-2,985)-14,4 = 68. Таким образом, уравнение прямой спроса имеет вид:

у = 68 - 2,985*. (5.24)

Для оценки степени соответствия найденного уравнения исходным данным обычно применяется показатель г2 (эр-квадрат). Этот показатель определяется следующим образом. Пусть, как и раньше, 112

 

Q—3700

 

(5.26)

Другими словами, т — это доля вариации у, объясненная зависимостью у от х, в полной вариации у. Из формулы (5.25) следует, что г Є [О, 1]._С геометрической точки зрения г — это квадрат косинуса угла У в треугольнике У У У*.

Нетрудно подсчитать, что для найденной выше функции спроса (5.24) показатель г = 0,955, что можно интерпретировать как достаточно удачное приближение наблюдаемых значений спроса линейной функции (5.24).

Завершая рассмотрение приложений метода наименьших квадратов, опишем показатели альфа и бета акций компании. На некоторой фондовой бирже, начиная с некоторого момента времени, через равные интервалы времени (скажем, ежемесячно) регистрируются характеристики акций, обращающихся на данной бирже.

Пусть cj — стоимость одной акции j-й компании в начале периода

с номером / ( или, что то же самое, в конце периода / - 1).

Пусть df — сумма дивидендов, выплаченных по одной акции

компанииуза период г. Тогда доходность (или эффективность) акций определяется отношением

 

'           Г"

Портфель акций задается числом акций каждого вида, входящих в данный портфель. Нас, однако, будет интересовать не само число акций компании j в составе портфеля, а их доля а ■ в общей стоимости

всего портфеля. Очевидно, что сумма всех долей Хду = 1> а доход-

./

ность портфеля Rp за период t определяется формулой

 

j

Рыночный портфель акций определяется как портфель, в котором представлены все имеющиеся в наличии обыкновенные акции, доля которых в портфеле зависит от стоимостных объемов эмиссии. Пусть г0 — безрисковая ставка процента за период t. Разность y'sR-'-г' называется избыточной доходностью (или премией за

Aj        j о

риск) акций j. Соответственно хр' = Rp - т1а — избыточная доходность портфеля р, а х'т — избыточная доходность рыночного портфеля. Применяя метод наименьших квадратов, найдем приближенную линейную зависимость Xj и хр от избыточной доходности рыночного

портфеля:

*/ = а/+рУж.   (5 27)

 

Коэффициенты ау и (соответственно ар и 8р) называются коэффициентами альфа и бета акций j (соответственно портфеля; р). Акции, для которых Ру>1, часто называют «агрессивными» инвестиционными инструментами, колебания их избыточной доходности в среднем превышают колебания других акций. Если ву> 1, то акции такого типа называют «защитными» инвестиционными инструментами. Надо отметить, что показатель г2 для акций обычно существенно меньше 1, что говорит о значительном разбросе точек (X ' ,Х ,^относительно прямой (5.27). В то же время для портфелей акции показатель г2 обычно увеличивается при увеличении числа различных акций в портфеле и может быть близок к 1. Этот эффект называют диверсификацией риска.

В заключение отметим, что необходимость в самостоятельном вычислении показателей альфа, бета и г2 обычно не возникает, так как эти показатели регулярно публикуются. Для российских компаний и отраслевых портфелей такие данные публикует агентство АК&М в «Финансовой газете».

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |