Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

§ 6.2. угловые точки выпуклых многогранных областей

2

Рассмотрим выпуклую многоугольную область в А (на плоскости ). Как правило, такие области имеют вершины или, по-другому, угловые точки. Постараемся выяснить точный смысл понятия вершины.

Для области М, изображенной на рис. 6.3, точки А и В не являются вершинами, так как для каждой из этих точек имеется отрезок, проходящий через эту точку и целиком содержащийся в М. В то же время для вершины С такого отрезка найти нельзя.

Определение. Точка С выпуклой многогранной области М С А" называется вершиной, или угловой точкой области М, если не существует представления С в виде

C = sC+(i-s)C2,

где С, Є М, С2 Є М и 0 < s < 1.

Возникает вопрос о практическом способе нахождения вершин.

Непосредственно ясно, что в случае многоугольной области в А1 (на плоскости) для любой вершины С найдутся две граничные прямые, проходящие через С, для которых С является их единственной общей точкой, а в случае выпуклой многогранной области в А* для любой вершины С найдутся три граничные плоскости с единственной общей точкой С (рис. 6.4, где через вершину С пирамиды М проходят четыре граничные плоскости, но любых трех из них достаточно, чтобы точка С была их единственной общей точкой).

Отсюда напрашивается следующий способ нахождения вершин, который мы примем без строгого обоснования.

Способ нахождения вершин выпуклой многогранной области

Пусть область М С Ап задана с помощью системы линейных неравенств. Выберем какие-либо п из этих неравенств и заменим их равенствами. Получим систему из п линейных уравнений с п неизвестными. Если эта система имеет единственное решение X, причем X Є М, то X — вершина области М. Таким путем могут быть получены все вершины М.

Пример. Область М С А задана системой

Зх, + 10л:2 < 60 4jc, + 5хг < 60 .

я, >0, х2>0

Найдем вершины М.

Заменяя каждую пару неравенств уравнениями, получаем шесть систем:

= о,

х2= 0,

j Зх, + 10x2 = 60   j Зх, + 10х2 = 60   {Зх, -г10х2 = 60

4xi + 5х2 = 60,

х2= 0

= о,

4х, + 5х2 =60      4х, + 5х2 = 60

х2= 0,

Каждая из этих систем имеет единственное решение:

(12, ^), (0, 6), (20, 0), (0, 12), (15, 0), (0, 0).

Однако из шести полученных точек две точки не принадлежат М: (20, 0) и (0, 12). Остальные четыре точки: (12, у), (0, 6), (15, 0), (0, 0) являются вершинами М. Изображение области М дано на рис. 6.5.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |