Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

Глава 1 арифметические векторы и системы линейных уравнений § 1.1. арифметические векторы и действия над ними. пространство rn

 

Напомним некоторые сведения из школьного курса геометрии.

Если на плоскости ввести прямоугольную систему координат, то каждому вектору а (направленному отрезку) будет соответствовать пара чисел а,, а2 — координат этого вектора. Мы записываем это с помощью равенства

а = (аи а2). Аналогично в трехмерном пространстве

а = (а,, а2, а3).

Обобщая эти факты, примем следующее определение, в котором и означает любое натуральное число.

Определение 1. Арифметическим n-мерным вектором называется любая последовательность из п действительных чисел

в,,в2,...,вй.

Для сокращенного обозначения арифметического вектора обычно пишется одна буква с чертой сверху:

а = (аиа2         ап).

Числа ар а2, ап, задающие вектор а, называются координатами этого вектора. Например,

д = (-2, 4, 1, 1,0)

— арифметический вектор с координатами -2, 4, 1, 1, 0.

Разумеется, непосредственный геометрический смысл имеют только одномерные, двухмерные и трехмерные арифметические

7 векторы. Первые изображаются направленными отрезками на числовой прямой, вторые — на координатной плоскости, третьи — в координатном пространстве.

В дальнейшем слово «арифметический» в названии вектора будем, как правило, опускать.

Определение 2. Два вектора а и b с одним и тем же числом координат:

а = (а{,а2,    aj;   b = (bvb2     bn)

будем считать равными в том и только в том случае, когда ai = bl, а2 = b2,ап = bn. Равенство векторов обозначается обычным образом: а = Ь.

Определение 3. Суммой двух векторов a ub (с одинаковым числом п координат) называется вектор

a + b = (ax+b{,a2 + b2,ап + Ьп).

Легко проверяются следующие свойства сложения векторов:

a + b = b + a.

(a + b) + с = а + (В + с).

Вектор (0, 0,     0) называется нулевым и обозначается 0 (или

просто 0). Очевидно, что

а + 0 = а для любого а.

Наконец, вектор (-а,, -а2      -а„) называется противоположным

вектору а = (ах, д2>    Д„) и обозначается -а.

а + (-а) = 0. і

Определение 4. Произведением вектора а = (а^, а2,...,а„) на число к называется вектор

ka = (kavka2, ...,kan).

Проверьте следующие свойства операции умножения вектора на число:

k(a + b) = ka + kb,   (k +1) -а = ка + la.

k(ll) = (kl)a. 7.1-о = в.

Определение 5. Множество всех n-мерных арифметических векторов, в котором введены указанные выше операции сложения векторов и умножения вектора на число, называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается R".

Снова подчеркнем, что непосредственный геометрический смысл имеют лишь пространства Я1, R2, R3. Пространство R" при п > 3 — чисто математический объект. Как мы увидим далее, этот объект очень удобен для описания реальных процессов, в том числе экономических.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |