Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

§ 1.2. скалярное произведение векторов

 

Начнем с примеров.

Пример 1. Группа студентов совершила туристическую поездку по ряду европейских столиц. К концу путешествия обнаружилось, что в их кошельках накопились остатки валюты: 15 французских франков, 10 британских фунтов стерлингов, 20 голландских гульденов и 25 немецких марок. Остатки составили «валютный» вектор

а = (15, 10, 20, 25).

Посоветовавшись, студенты решили обратить валюту в рубли и организовать банкет. На обменном пункте они узнали курсы валют:

1 французский франк — 1000 руб.,

1 британский фунт стерлингов — 7500 руб.,

1 голландский гульден — 3000 руб.,

1 немецкая марка — 3500 руб.

Таким образом, появился еще один четырехмерный вектор — вектор обменных курсов валют:

Б = (1000; 7500;3000; 3500).

Чтобы определить, сколько рублей имеется на банкет, нужно выполнить следующий расчет:

15 • 1000 + 10 • 7500 + 20 • 3000 + 25 • 3500 = 237 500 руб.

Пример 2. Коммерческий банк, участвующий в строительстве многоэтажных автомобильных стоянок в центре Москвы, предпринял усилия по получению кредитов в трех коммерческих банках: «Мост-банке», «Мосбизнесбанке», «Столичном банке сбережений». Каждый из них предоставил кредиты в размерах соответственно 20, 40 и 40 млрд руб. под годовую процентную ставку 40, 25 и 30\%.

В данном примере речь идет о двух векторах: трехмерном векторе кредитов с = (20; 40; 40) и векторе процентных ставокр = (40; 25; 30).

Используя простой расчет,управляющий коммерческим банком может определить, сколько придется платить по истечении года за кредиты, взятые у трех банков:

20- 1,4 + 40- 1,25 + 40- 1,3 = 130 млрд руб. На этих примерах мы можем видеть возникновение своеобразной

операции над векторами из R", называемой скалярным умножением

векторов.

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов а = (flj, а2,ап)иЬ- (bv b2,bn) называется число

(a,b) = axbx +a2b2 + ... + anbn.

Перечислим основные свойства скалярного произведения (проверку предоставляем читателю провести самостоятельно).

(a,b)_=(b,a)._

{ka, b) = k(a,b).

(а,Ь + с) = (а,Ь) + (а, с).

(а, а) > 0 если а * 0 и (а, а) = 0, если а = 0.

Как известно из школьного курса, для векторов из R3 справедливо равенство

(а, Ъ) = Щ ■ Ь • cos ф

и, как следствие,

ffl = ^); (її)

cos9 = ^| (1.2)

Ш ■ ъ

(равенство (1.2) справедливо при а * О, Ъ * 0). 10

Равенства (1.1), (1.2) подсказывают нам, как разумным способом определить для векторов из R", где л>3, понятие модуля вектора и угла между векторами.

Определение 2. Для векторов из R" (п - любое) модуль |а[ вектора а и косинус угла <р между двумя ненулевыми векторами а

и Ъ определяются с помощью формул (1.1) и 1.2).

Впрочем, формула (1.2) нуждается в некотором комментарии. Дело в том, что уравнение cos ф = с (где ф — неизвестное число) имеет решение только при -1 < с < 1. Поэтому, чтобы данное нами определение угла между векторами было корректным, необходимо сначала

убедиться, что число ^' ^1 заключено между -1 и 1. Это вытекает из ЩЪ

следующего важного неравенства.

Неравенство Коши-Буняковского. Для любых двух векторов аиЬизЯ" справедливо неравенство

(а,Ъ)г<(а,а)-(Ь,Ь). 0-3)

Доказательство. Возьмем какое-либо число t и составим вектор с = ia + b.

Имеем

(с, с) = (га + b, tа + Ъ) = Iі (а, а) + It (а, Ъ) + (Ь, Ь)

или, обозначая (а, а) = а, (а, Ь) = р, (Ь,Ъ) = у,

(с, с) = at2 +2рг + у .

Квадратный трехчлен аґ2 + 2рг +у, получившийся справа, при любом значении t неотрицателен (ибо (с, с) > 0), следовательно, его дискриминант < 0. Таким образом, (З2 - а ■ у < 0, или

(а, Ъ)г - (а, 5) ■ ф, Ъ) <; 0,

 

что равнозначно неравенству (1.3).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |