Имя материала: Математика в экономике

Автор: Солодовников А.С.

§ 1.3. линейно зависимые и линейно независимые

системы векторов

 

Операции сложения векторов и умножения вектора на число лежат в основе обширного и богатого приложениями раздела математики, называемого линейной алгеброй. Одним из центральных понятий линейной алгебры является понятие линейной зависимости.

Сначала заметим следующее: если при рассмотрении некоторого вопроса приходится иметь дело с несколькими векторами, то, как правило, их обозначают одной и той же буквой а с разными индексами: а,, а2, .... Весь набор {а1, а2, ...} называют системой векторов.

Определение 1. Пусть даны векторы а,,а2 а3 из R".

Любой вектор а вида

a = klal+k2a2+...+ksas, (1.4)

где , k2, ...,ks — какие угодно числа, называется линейной комбинацией векторов а у, а2,а3.

При наличии равенства (1.4) также говорят, что вектор а линейно выражается через векторы а,, а2,а3 или что а разлагается по векторам а,, а2,а3.

Например, если

в, = (2, 2,3), 52 = (0,-4,5), в3 = (3,13,-8),

то

За, - 5а2 -2а3 = (6, 6, 9) - (0, -20, 25) - (6, 26, -16) = (0, 0, 0).

Таким образом, вектор (0, 0, 0) является линейной комбинацией векторов а,, а2, а3.

Определение 2. Система векторов а^а2,...,а3 из R" называется линейно зависимой, если существуют такие числа с,, с2, с3, не равные одновременно нулю, что справедливо равенство

cla1+c2a2 + ... + c3as = Q. (1.5)

В частности, система а,, а2, а3 из предыдущего примера линейно зависима. 12

Определение 3. Если система векторов aj, a2,а, такова, что равенство (1.5) возможно только при с, = с2 = ... = cs = 0, то эта система называется линейно независимой.

Перечислим ряд свойств линейной зависимости.

Система из одного вектора а линейно зависима <=> а = 0.

Доказательство. Пусть система {а}, состоящая из одного вектора а, линейно зависима. Тогда найдется число с*0, такое, что с а = 0.

Умножим обе части этого равенства (оба вектора) на число с~ . Получим,с_,(са)р с"1- 0 или (с_1с) а = 0._Таким образом, 1-а = 0 или а = 0. Обратно, если вектор а равен 0, то очевидное равенство 1 а = 0 показывает, что система (а) линейно зависима.

Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима в том и только в том случае, когда среди данных векторов имеется такой, который линейно выражается через остальные.

Доказательство. Пусть среди данных векторов а,, а2, ...,as

имеется такой, например, вектор а, который линейно выражается через остальные:

а, =k2a2+...+ksas. Прибавляя к обеим частям равенства вектор -ах, получим;

 

-а, + к2а2 +...+ к3а3 = 0,

т. е. линейная комбинация векторов а,, а2,а3 равна нулю, причем среди коэффициентов имеются коэффициенты,не равные нулю (коэффициент при а, равен -1). Следовательно, система а,, а2, ., а3

линейно зависима.

Обратно, пусть векторы а,, а2         а3 линейно зависимы, т. е. имеет

место равенство (1.5) с не равными нулю одновременно коэффициентами с,, с2, с3. Пусть, скажем, с, *0. Перепишем равенство (1.5) в виде

а, =-

и,умножив обе части на -с,', получим равенство

д-, -... -

означающее, что вектор а, линейно выражается через остальные векторы системы.

Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Следствие: система, включающая вектор 0, линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система, например, из трех векторов а,, а2, а3, причем часть системы, состоящая из двух векторов 3,, а2, линейно зависима, т. е. справедливо равенство

с2а2 + CjO.^ = О,

где с2 или с3 отличны от нуля. Добавив к обеим частям вектор О = O-Sj, получим равенство

Оа, + с2а2 + с3а3 = О, означающее линейную зависимость всей системы ах, я2, й3.

Если система {ava2   as } линейно независима, но при добавле-

нии к ней еще одного вектора а становится линейно зависимой, то

вектор а линейно выражается через а(, а2,as.

Док аз ателье те о. По условию справедливо равенство вида cla]+c2a2 + ... + csas + ca-Q, (1.6)

где не все числа с,, с2,cs, с равны нулю. Нетрудно видеть, что именно с *0. В противном случае мы получили бы равенство са + с2а2 + ••• + csas - °- означающее линейную зависимость системы Д|, а2,as. Пользуясь тем, что с * 0, можно из равенства (1.6) выразить а через векторы а^, а2,as.

Пример. Рассмотрим систему из векторов

га = (а,,а2, а3  а„ )

& = (0, р2, Э3,...,ри)

с = (°- о.Чз      1п)

где а,, Ру, ук,... обозначают какие-то числа. 14

Причем а,, р2, Уз, •■• (числа, стоящие на пунктирной «диагонали») отличны от нуля. Такая система векторов называется лестничной. Понятно, что число векторов в лестничной системе не превосходит п (число координат в каждом векторе).

Докажем, что любая лестничная система векторов линейно независима.

Предположим противное. Тогда один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные. Пусть, например, а линейно выражается через Ь, с,...

а = kb + 1с +...

Но такое равенство невозможно, поскольку первая координата вектора а отлична от нуля, а первая координата вектора kb + lc +... равна нулю. Полученное противоречие доказывает, что система а,Ь,с,... линейно независима.

Определение 4. Векторы a ub называются коллинеарными,

если a =kb или b = ka.

Если один из векторов а или Ъ равен нулю, то такие векторы заведомо коллинеарны: если, например, а = 0, то имеем а = Ob.

Практически распознать коллинеарность совсем просто: координаты а,,    ап вектора а должны быть пропорциональны координатам

bv    Ъп вектора Ь.

Пример коллинеарных векторов дает любая таблица обменных курсов валют. Каждую пятницу в финансовом приложении к газете «Известия» печатается таблица обменных курсов валют, условный фрагмент которой приводится ниже:

 

 

1 $

1 DM

1 SF

А

1

2

3

1 $

1

0,6806

0,834

1 DM

1,4693

1

1,22541

1 SF

1,199

0,8161

1

Каждый столбец этой таблицы выражает курсовую стоимость единицы соответствующего вида валюты. Так, второй столбецпока-зывает, что за 1 DM можно получить 68 центов или 82 сантима.

 

Любые два столбца и любые две строки этой таблицы пропорциональны, т. е. любые векторы-столбцы и любые векторы-строки коллинеарны, причем в этой же таблице легко найти коэффициент пропорциональности.

Чтобы лучше «прочувствовать» смысл понятия линейной зависимости, обратимся к векторам из R3.

П усть дана систем а из двух в ектор ов а и Ъ. Если систем а линейно зависима, то один из векторов, допустим а, линейно выражается через другой:

а = кЪ.

Два вектора, связанные такой зависимостью, как уже сказано, называются коллинеарными. Итак, система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны. Заметим, что такое заключение относится не только к R3, но и к любому R".

Пусть система в R3 состоит из трех векторов а, Ъ, с. Линейная зависимость означает, что один из векторов, скажем а, линейно выражается через остальные:

a = kb + lc. (1.7)

Если считать, что все векторы а, Ъ, с имеют общее начало, то из (1.7) следует, что все три вектора лежат в одной плоскости.

Определение 5. Три вектора а, ft, с в R3, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными (рис. 1.1, где слева указаны векторы я, Ъ, с из одной плоскости, а справа те же векторы отложены от разных начал и лишь параллельны одной плоскости).

16

Итак, если три вектора в R линейно зависимы, то они компланарны. Справедливо и обратное: если векторы а, ft, с из R3 компланарны, то они линейно зависимы. Доказательство предоставим читателю провести самостоятельно.

Пусть теперь дана система из s векторов в R , где s > 3. В этом случае система обязательно линейно зависима. Это вытекает из следующей общей теоремы.

Теорема. В пространстве R" любая система из s векторов, где s>n, линейно зависима.

Доказательство будет дано в § 1.5 данной книги.

Пример. Векторы из R3:

5, = (-1,3, 7), а2 = (0, 4, 6),

г3 = (з,7, і),

а4 = (1,0,0)

линейно зависимы, так как их число больше 3.

Если дана конкретная система векторов, то установить, будет ли эта система линейно зависима, вообще говоря, не так просто (исключая разве лишь тот случай, когда число векторов больше числа координат в каждом векторе, т. е. s > п).

Например, в системе

а, = (2, -5, 1,-1), а2 = (1, 3, 6, 5), в3 = (-1,4, 1,2)

при поверхностном рассмотрении трудно заметить какие-либо зависимости, хотя на самом деле эти векторы связаны соотношением

7а, - За2 + 11а3 = 0 (проверьте!).

Практический способ решения вопроса о линейной зависимости будет указан в § 1.5.

2—3700          ^ ^

§ 1.4. Система линейных уравнений и ее решение методом Гаусса

Система т линейных уравнений с л неизвестными или, как будем дальше говорить, система т х л, запишется в общем виде так:

 

аМх + «12*2 + -+«Ы** = й1

в2, х, + д22 х2 + ... + а2пхп = Ь2 (1.8)

 

Для сокращения этой записи можно использовать следующую таблицу, которая содержит всю информацию о системе (1.8).

 

*1

хг

Хп

 

«11

«п

ап

 

ап

«22

а7п

 

ап

««2

 

 

 

Решением системы (1.8)является любойнабор значений неизвестных:

лг,=а,, х2 = а2,.... хп=а71,

удовлетворяющий всем уравнениям системы. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Две системы уравнений с одними и теми же неизвестными Хр хп называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Забегая вперед, отметим, что для любой системы (1.8) возможны только три случая:

система не имеет ни одного решения;

система имеет единственное решение;

система имеет бесчисленное множество решений.

Множество всех решений системы (1.8) называется ее общим решением. Решить систему (1.8) означает найти ее общее решение. 18

Опишем некоторые действия над системой (1.8), называемые элементарными преобразованиями. Это:

перестановка уравнений;

вычеркивание из системы (1.8) уравнения вида

О-*, + 0*2 +... + Qx„ = 0

или, проще, 0=0;

умножение обеих частей одного из уравнений системы на число X*Q ;

прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

Например, пусть дана система

f 5лг, - Зх2 = 4 I -2х, + 6jc2 = 0 .

К обеим частям второго уравнения прибавим соответствующие части первого уравнения, умноженные на 2, получим систему

5Х( - 3jc2 = 4 8х, =8.

 

Предоставим читателю проверить самостоятельно, что любое из элементарных преобразований, совершенное над системой уравнений, приводит к системе, равносильной исходной системе.

При выполнении элементарных преобразований над системой может возникнуть уравнение вида

О - ЛГ( + 0 • хг +... + 0 ■ хп = Ъ,

где b ф 0.

Ясно, что это уравнение не имеет решений; будем называть такое уравнение противоречивым. Система, содержащая противоречивое уравнение, несовместна; заниматься решением такой системы нет смысла.

Для нахождения общего решения системы (1.8) имеется простой и удобный метод Гаусса. Суть метода заключается в том, что с помощью элементарных преобразований системы (1.8) либо получают

систему, содержащую противоречивое уравнение (и тогда система (1.8) оказывается несовместной), либо система (1.8) приводится к некоторому специальному виду. Особенность этого вида заключается в том, что для каждого уравнения имеется неизвестное, которое входит в это уравнение с коэффициентом, не равным нулю, а в остальные уравнения — с коэффициентом 0. Если для каждого уравнения зафиксировано такое неизвестное, то это неизвестное называется базисным, а весь набор базисных неизвестных — базисом неизвестных. Остальные неизвестные (если они имеются) называются свободными.

Пример:

'2x,+@-5x3     + х6= 7

• 3jc,        +4х}     +Q-3x6 = -2 О-9) *і        -*э+@      -2*6= 8

Здесь х2, х4, х5 — базисные неизвестные, хи д:3, х6 — свободные неизвестные. Заметим, что коэффициенты при базисных неизвестных в соответствующих уравнениях системы (1.9) равны 1. В общем случае это необязательно, но можно этого добиться с помощью элементарного преобразования типа 4). Переписав систему (1.9) в виде:

хг = 7 - 2jC| + 5*3 - х6 . х5 = -2 - 3*, - 4д:3 + 3*6 (1-Ю) х4= 8 - хх + х3 + 2х6

(в левых частях системы стоят базисные неизвестные, в правых частях — свободные неизвестные), получаем фактически общее решение. Действительно, уравнения (1.10) показывают, что вместо свободных неизвестных хх,х3,х6 можно подставить любые числа и затем найти из уравнений (1.10) значения базисных неизвестных х2, х4, jc5. Например, взяв х]=0,х3=,х6 = 2, найдем л:2 = 10, jc4 = 13, xs = 0, а значит, получим конкретное (частное) решение

х, = 0, х2= 10, х3 = 1, хА= 13, *5 = 0, х6 = 2.

Таким образом, запись системы в виде (1.10) позволяет непосредственно получить любое частное решение системы; в этом смысле запись (1.10) можно считать общим решением.

Очевидно, при наличии хотя бы одного свободного неизвестного система имеет бесчисленное множество решений. Если свободных неизвестных нет (все неизвестные — базисные), то решение единственно.

Изложим теперь алгоритм метода Гаусса. Для этого дадим описание очередного к -го шага (к = 1, 2, ...).

Итак, очередной к-Л і шаг состоит из следующих действий:

Из системы, полученной ранее (после к - 1 предыдущих шагов) удаляем уравнения 0 = 0. Если в оставшейся системе имеется хотя бы одно противоречивое уравнение, то система несовместна — работа с ней прекращается.

Пусть противоречивых уравнений не оказалось. Тогда одно из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие два требования:

 

на предыдущих шагах это уравнение не было разрешающим;

в разрешающем уравнении коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от нуля; этот коэффициент называют разрешающим элементом.

Из всех уравнений, кроме разрешающего, исключаем разрешающее неизвестное. Для этого к каждому из таких уравнений прибавляем разрешающее уравнение, умноженное на подходящее число.

Процесс заканчивается, если ни одно из уравнений уже нельзя выбрать за разрешающее (т. е. все уравнения перебывали в этой роли). Тогда для каждого уравнения имеется свое базисное неизвестное, входящее в это уравнение с коэффициентом, отличным от нуля, а в остальные уравнения — с коэффициентом 0. Таким образом, процесс прекращается после получения базиса неизвестных. Из полученной системы находим (как в указанном примере) общее решение.

Разберем несколько примеров.

В каждом примере весь процесс решения записан в виде вертикальной последовательности таблиц. Каждому шагу метода Гаусса соответствует переход от очередной таблицы к следующей. Разрешающие элементы обводятся овалом. Конкретные действия по исключению неизвестных снабжаются пояснениями в виде стрелок.

Пример 1.

 

■-2

 

jc, + 2х2 + 3jc3 = 2

*I ~  x2 ~ x3

jfj + 3x2 -■ x3 = -2

Пример 2.

х, - Зх2 + 2х3 + 2х4 = 1 3jCj - 8х2 + 8х3 + 7х4 = 3 2*,-4*2+ 8х3 + 8л-4 = 0 2х{ - Зх2 + 10х3 + &х4 = 1

 

Xl

*3

 

CD

2

3

2

1

-1

-1

-2

1

3

-1

-2

I

2

3

2

0

-3

-4

-4

0

О

-4

-4

1

0

11

10

0

0

 

-16

0

1

-4

-4

1

0

11

10

0

0

CD

1

0

1

-4

-4

1

0

0

-1

0

0

I

1

0

1

0

0

0 0

 

© 0

 

Последней таблице соответствует система

Последней таблице соответствует система

= -1 *,= 1 х2 + 2х3

= 6 = 1 х4 =-1

 

Ответ: решение единственно, jc, = -1, х2 = 0, х3 = 1.

с базисными неизвестными jc,, дг2, x4 и свободным X,.

8х,

Общее решение дается формулами

х{ = 6

1 -2х,

х4 = -1

Система имеет бесчисленное множество решений, которые можно охватить записью

х = (6-8jc3, 1~2*3' xv ~0.

где х3 — любое число. Пример 3.

■ Зх2 + х3 + 2х4 = 3

4Х( - Зх2 + *з + *4 = 5 14х, - 9х2 + 3*з + 2х4 = 2 2Xj - х2 + х3 + х4 = 1

Предоставляем читателю убедиться, что после двух шагов с разрешающими элементами аи и а22 получится система, в которой

третье уравнение будет противоречивым. Система несовместна.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |