Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§1.14. сходимость точек в r". открытые и замкнутые множества. предел и непрерывность для функций нескольких переменных

 

1°. Расстояние между точками в R"

Напомним, что в пространстве Rl (т.е. на числовой прямой) расстояние между точками х, и х2 равно х2 - х,|, в пространстве Fr для расстояния между точками р = (х,, х2) и q = (yvy2) справедлива формула

Р(Р.1) = ^У1-х<)2+(у2-х2)2, (1-19) а в пространстве Л3 - формула

Р(Р,Я) =       - *.)2 + (У2 - *2)2 + (Уз - *з)2, (L2°)

ГДЄ/7 = (Х,,Х2,Х3), 9 = Ор>;2^з)-

В пространстве R", где и > 3, о расстоянии можно говорить лишь в условном смысле, так как точки в R" не имеют непосредственного геометрического истолкования. Аналогично формулам (1.19) и (1.20) мы определяем расстояние в R", где п > 3, формулой

Р(Р,Ч) = >/(У. - *,)2 + (У2 - *2)2+-+0'„ - *„)2, О-21)

где,£ = ^1' *2' " ^ = ^1' Уъ> •■' -О ~ две произвольные точки из РГ.

Введенное таким путем расстояние в R" обладает следующими свойствами:

pip, q) > 0, если/? * q, и pip, р) = 0;

р{р, q) = piq,p); (1.22)

pip, q) + p(q, r)>pip, r),

каковы бы ни были точки р, q, г. Свойства 1 и 2 очевидным образом следуют из определения расстояния. Свойство 3 носит название «неравенство треугольника». В случае пространств R2 и R3 оно имеет очевидный смысл, так как выражает тот факт, что сумма двух сторон треугольника всегда больше либо равна третьей стороне.

Доказательство неравенства 3 (1.22) дается в приложении 1 к данной главе.

При рассмотрении функций в R" широко используется геометрический язык, хотя буквальное понимание геометрических терминов возможно только при и = 2 и и = 3.

Определение. Пусть р0 - точка в R" и є - положительное число. Открытым шаром или просто шаром радиуса є с центром р0 называется множество всех точек, расстояние которых от р0 меньше є.

[peRnp{p0,p)<£}. (1.23)

Шар радиуса г с центром р0 обозначается В(р0, є).Часто шар Вірп, £) называют f-окрестностью точки р0.

Разумеется, при п = 2 вместо слова «шар» следует говорить «круг».

Определение. МножествоX<= R" называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре.

Нетрудно показать, что ограниченность множества X означает, что существует такое число С > 0, что координаты любой точки/? = (х,, х2,... хп) из Хпо модулю не превосходят С:

|х,|<С,|х2|<С,...,|хл|<С.

 

2°. Сходимость точек в R"

 

Определение. Пусть {рп} - последовательность точек в к Мы говорим, что эта последовательность сходится к точке Pq, если числовая последовательность {р(рп, р0)} имеет предел 0.

Иначе говоря, последовательность {рП} сходится к р0, если расстояние {р(р„, р0)} неограниченно уменьшается с ростом и.

Можно дать и другое определение сходящейся последовательности - не через расстояние между точками, а через координаты точек. Для сокращения записей дадим это определение для п = 2.

Определение. Пусть рх = (х,, ух рг = (х2, у2),... - последовательность точек в Рг. Мы скажем, что эта последовательность сходится к точке р0 = (Xq, у0), если числовая последовательность х,, х2, ... сходится к числу х^ а числовая последовательность ух, у2, ... - к числу у0.

Чтобы установить эквивалентность этих определений, заметим сначала, что справедливы следующие неравенства: если р = (х,у) и/?' = (х',у'), то р(р,р')<х-х' + у-у', (1.24) і* - х' < р(р,р'),у - у' < р(р,р'). (1.25)

Справедливость каждого из этих неравенств устанавливается возведением в квадрат левой и правой частей.

Пусть теперь последовательность {рп } сходится к р0 в смысле исходного определения. Это означает, что последовательность {р{р„, р0)} стремится к нулю. Записав для точек рп, р0 неравенства (1.25), получим

О ^ К - *ol ^ РІРп,Ра 0 ^ Уп ~ Уо ^ РІРп^Ро)-Отсюда в силу известных положений о пределах вытекает, что каждая из последовательностей {хп -х0\} и{уп -у0\} стремится к нулю. Следовательно, хп —> х0 и уп —> у0, т.е. последовательность {рп} сходится к р0 в смысле второго определения. Обратно, пусть {рп} сходится к р0 в смысле второго определения. На основании неравенства (1.25), примененного к точкамрп,р0, получим

РІРп>Рй)£х»-Хо + У*-Уо- (L26) Каждая из последовательностей {хп - х0\},{уп - у0\} по условию стремится к нулю; тем самым последовательность {хп - х0|} + +{]уп — у0\} также стремится к нулю. Отсюда и из (1.26) вытекает, что последовательность {р (рп,р0)} стремится к нулю, т.е. что последовательность {рп} сходится к точке р0 в смысле исходного определения.

Установим важную для дальнейшего лемму о сходимости. Предварительно введем такое определение. Пусть

Pi.Л»- (1.27) - последовательность каких-то элементов, а и); п2,... - возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность p„L,p„2, ... называется подпоследовательностью

последовательности (1.27). Проще говоря, подпоследовательность - это любая бесконечная часть данной последовательности.

Лемма. Всякая ограниченная последовательность точек в пространстве R" содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из R"

Заметим, что с геометрической точки зрения содержание леммы в достаточной мере очевидно. Если последовательность точек на плоскости (в л) ограничена, т.е. заключена внутри некоторого круга В, то ввиду бесконечности этой последовательности, в круге В обязательно должны найтись места «сгущения» данной последовательности, т.е. должны существовать подпоследовательности, сходящиеся к некоторым точкам (рис. 1.19).

 

Рис 119

Доказательство леммы дается в приложении 2 к данной главе.

 

3°. Открытые и замкнутые множества в Я"

Определение. Пусть X- множество в пространстве RP. Точка р называется:

внутренней точкой множества X, если существует шар В(р г) все точки которого принадлежат X;

внешней точкой по отношению к X, если существует шар В(р г), ни одна точка которого не принадлежит X,

граничной точкой для X, если она не является ни внутренней, ни внешней точкой X, иначе говоря, если любой шар с центром р содержит как точки, принадлежащие X, так и точки, не принадлежащие X (рис. 1.20).

Из данного определения следует, что любая точка пространства R" является либо внутренней точкой для множества X, либо внешней, либо граничной по отношению к X. При этом любая внутренняя точка принадлежит множеству X, любая внешняя точка не принадлежит X; что же касается граничных точек, то они могут как принадлежать, так и не принадлежать X.

На рис. 1.21 множество X представляет собой круг на плоскости (в л ) вместе с граничной окружностью; граничными точками множества X являются точки этой окружности. Если в качестве X взять круг без граничной окружности, множество граничных точек останется тем же.

Определение. Множество X называется открытым, если все его точки внутренние. Множество X называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Упомянутый выше кругХ(ркс. 1.21) без граничной окружности является открытым множеством; тот же самый круг вместе с граничной окружностью - замкнутое множество.

 

4*. Предельные точки множества.

Изолированные точки

Примем следующее

Определение. ПустьX- множество в РГ. ТочкаpQ называется предельной для X, если в любой окрестности точки р0 (любом шаре B(Pq, є)) имеются точки множества X, отличные от р0.

При этом сама точка р« может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.

Очевидно, любая внутренняя точка множества Л'является предельной для X; любая граничная точка множества X также является предельной для X. Столь же очевидно, что других предельных точек для X, кроме внутренних и граничных, не существует.

Определение. Точка р0 множества X называется изолированной точкой этого множества, если существует такой шар В(р^ є) с центром р^ в котором никаких других точек из X, кроме точки р0, не имеется.

Ясно, что любая точка множества X является либо изолированной, либо предельной для X.

 

5". Предел и непрерывность функций нескольких переменных

 

Определение. Пусть на множестве X a R" задана функция f и пусть р0 - предельная точка для X. Число а называется пределом функции f в точке р^, если для любой сходящейся к pQ последовательности {рп}, где все р„^ра, соответствующая числовая последовательность {Дрп)} сходится к числу а. Запись:

lim f(p) = а,

р->ра

или в координатной форме:

lim     /(*,,...*„) = о.

 

Определение. Функция/, определенная на множестве X с R" , называется непрерывной в точке р0 є X, если

lim f(p) = f(p0),

Р-+Ро

а также если р0 - изолированная точка множества X.

Все свойства пределов, установленные ранее для функций одной переменной, остаются справедливыми для функций п переменных (доказательства повторяются дословно). Напомним эти свойства:

1. Если lim f(p)-a и lim g(p) = b, то

Р->Ро Р->Ро

Km {/(p) + g{p)) = a + b, imf{p)g{p) = ab, ЦтЩ = ^, (последнее при b * 0).

2.         Если существует lim f(p), то в некоторой окрестности

Р->Ро

точкир0 (в некотором шаре В(р0,е)) функция/(/?) ограничена.

Если в некоторой окрестности точки р0 имеем /(Р)~ g(p) и существуют lim f(p) = a, lim g(p) = b, то а>Ъ.

Р-*Ро Р-*Ро

Если в некоторой окрестности точки р0 имеем f(p)>g(p)>h(p причем пределы lim f(p)u lim hip) суще-

P->Po p-+Po

ствуют и равны одному и тому же числу а, то и lim g(p) - а.

Р->Ро '

Остается справедливой и теорема о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций. В частности, для случая двух переменных отсюда следует, что любая функция вида

Р(х,у)

 

где Р{х, у) и Q(x, у) - два многочлена от х ну, непрерывна в любой точке (х, у), где Q(x, у) * 0.

Сохраняет силу и теорема о постоянстве знака непрерывной функции: если f(p0) * 0, то в некоторой окрестности точки р0 функция/имеет тот же знак, что и в точке pQ.

В заключение данного параграфа введем такое

Определение. Функция f определенная на множестве X с называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке множества X.

Возвращаясь к введенному в § 1.13 классу элементарных функций от п переменных, отметим, что справедлива следующая теорема.

Теорема 1.10. Любая элементарная функция непрерывна на всей области ее определения.

Для функции одной переменной мы доказали такую теорему в §1.11. Для функций п переменных доказательство по существу остается тем же (оставляем без уточнения).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |