Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§1.15. свойства непрерывных функций на ограниченных замкнутых множествах

При изучении числовых функций одной переменной х мы познакомились с рядом теорем о свойствах функций, непрерывных на отрезках. Наиболее важной среди них является теорема о том, что функция, непрерывная на отрезке, достигает в некоторой точке своего наибольшего и в некоторой точке - своего наименьшего значений. Обобщается ли эта теорема на функции нескольких переменных? И если да, то каким образом? Докажем в этом направлении следующие две теоремы.

Теорема 1.11. Если непрерывная числовая функция f от п переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве X cz Л", то она ограничена на этом множестве.

Теорема 1.12. Если непрерывная числовая функция f от п переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве X с R", то существует точка р0 є X, в которой f принимает свое наименьшее значение, и точка є X, в которой f принимает свое наибольшее значение на X.

Доказательство теоремы 1.10. Будем рассуждать от противного. Пусть функция / не ограничена на X. Тогда существует такая точка рх е X, что |ДР[)| > 1, затем такая точка р2 є X, что 1Др2)| > 2 и т.д. Последовательность px,pv ... ограничена (вслед за X), поэтому на основании леммы из § 1.14 существует подпоследовательность^,^^..., сходящаяся к некоторой точке р0. В силу замкнутости множества Xимеем р0 є X. Ввиду непрерывности функции / в точке р0 числовая последовательность /(Л, )>/(Рп2 )'••• должна сходиться к числу f(p0). Но это противоречит тому, что указанная последовательность неограниченна: ведь по построению /(/>„,) > и, для любого номера і. Полученное противоречие доказывает теорему 1.10.

Доказательство теоремы 1.11 дословно повторяет доказательство соответствующей теоремы для функций одной переменной (см. свойство 4 непрерывных функций в § 1.10), и мы не будем приводить его повторно.

С помощью теоремы 1.11 удается в ряде случаев решить вопрос о достижении наименьшего и наибольшего значений для функции, заданной на неограниченном множестве. Пусть, например, функция f(x, у) определена и непрерывна на всей плоскости к. Если можно указать такую область D, ограниченную и замкнутую, и такое число а, что значение f в любой точке, лежащей вне D, больше а, в то время как значение f хотя бы в одной точке области D не больше а, то наименьшее значение f в области D будет одновременно и наименьшим значением /во всей плоскости.

Действительно, пусть /(*0, yQ) - min / в Д где (х0, у0) є D. Так как по предположению в области D имеются точки, в которых /< а, то и f(x0, у0) < а. В то же время вне D имеем / > а, Следовательно,/(ж0, у0) = min/во всей плоскости.

Описанная ситуация имеет место, например, если / (р)—> <х>, когда точка р неограниченно удаляется от начала координат. Скажем, если

/ = Xі + у2 -2sinjc,

то, ввиду |sin х < 1, мы имеем, очевидно, /—> оо при X2 + у2 —> 00. Взяв в качестве D круг радиуса 2 с центром в начале координат, получим всюду вне D X2 + у2 > 3, в то же время J(0, 0) = 0 < 3. Значит, наименьшее значение/в круге D будет одновременно минимумом /во всей плоскости. Заметим, что методами дифференциального исчисления для функций нескольких переменных легко найти точку, в которой/=/т1П. Это точка (xQ, 0), где дс0 есть корень (единственный) уравнения х = cos х.

Аналогично, если можно указать область D (ограниченную и замкнутую) и число а так, что всюду вне D имеем / < а, в то время как в некоторой точке из D имеем /> а, то наибольшее значение f в области D будет одновременно максимумом f во всей плоскости. В частности, так будет, если / —> О при х2 + у2 00.

В качестве примера покажем, что среди прямоугольных параллелепипедов, имеющих заданную поверхность 2S, существует параллелепипед наибольшего объема.

Обозначая через х, у, z стороны параллелепипеда, выходящие из одной вершины, будем иметь

ху + yz + XZ = S,

откуда

S-xy

z =       —.

х + у

Следовательно, объем параллелепипеда

xy(S-xy)

V = xyz = —^ '-.

х + у

По смыслу задачи функция V(x, у) рассматривается в бесконечной области ГУ. х > 0, у > 0, ху < S плоскости Оху. Эта область изображена на рис. 1.22.

Доопределим функцию V соглашением / = 0 на границе области D; в результате получим функцию / , непрерывную (проверьте!) в каждой точке замкнутой области D. На том же рисунке с помощью штриховки (наклонной) показана ограничен

О

 

h х

 

Рис 1.22

 

ная область Dh:xy < h, являющаяся частью D. Поскольку справа от Dh мы имеем У-^' т0 можем записать (там же)

 

V =       (S-xy)<—S-   > 0 при h ~> со;

l+y       h h

х

то же самое будет и сверху от Dh. Это показывает, что при достаточно большом h максимум V в области Dh будет одновременно и максимум V во всей области D. Остается добавить, что ввиду ограниченности и замкнутости области Dh и непрерывности функции V максимум V в области Dh обязательно существует.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |