Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

Глава 2 дифференциальное исчисление функций одной переменной § 2.1. производная функции в точке

 

Определение производной. Пусть функция у =J{x) определена в некоторой окрестности точки x0. Для любой точки X из этой окрестности приращение Ах определяется формулой Ах = х - х0, откуда х = х0 + Ах

Приращением функции у =j{x) в точке xQ называется разность

АУ = Ах) -fix,) = fix, + Ах)- fix,).

 

Производной от функции у =fix) в точке х0 называется пре-

Ау

дел отношения —, когда Дх->0 (при условии, что предел отношения -~ существует).

 

Производная функции у =fix) в точке х0 обозначает/(х0) или f'(x0). Если'необходимо указать, какая переменная является независимой (в данном случае х - независимая переменная), то используются обозначения:

следует понимать как произ-

 

y"dx'dx. . '

 

Например, выражение — [ х + — ]

dx V х)

водную функции у = х + -і в точке х0= 2.

5* 67

 

Определение производной можно записать в виде формулы

/Ч*о)=Ц»£-Цш /(*о+А*)-/(*о)

дх->оДх   ді-»о           Ах       v 7

Конечно, предел (2.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция/х) не имеет производной и в точке х0. Если предел (2.1) равен +оо или -ао, то говорят, что функция fx) имеет в точке х0 бесконечную производную (равную +оо или -оо, соответственно).

Пример 2.1. Рассмотрим функцию fx) = С (const). Для любой точки х0 приращение Ау = 0. Поэтому

С = lim — = О

 

Пример 2.2. Пусть f(x) = х. Для любой точки хй приращение Ау = Дх. Поэтому

,           Ау Ах

х = lim — = lim — = 1 л»-»0 Ах Дх

Пример 2.3. Пусть f(x) = lfx Для любой точки х0*0 находим производную

 

/'(*о)= lim        7          = lim    =

Дї->0   Дх       ;r-»:r0 х-х0

і       і -!

= lim Т7=        ;           r== = TJco •

^oijx2 +^хх0+]]х2 3

Если же дс0 = 0, то

/'(0)= lim          lim = , 1 =+оо.

ді->о Дх    аі-»о з/сдх)2

Физический смысл производной. Для произвольной функции Дх) рассмотрим динамическую систему: точка Р движется по координатной прямой Оу таким образом, что в каждый момент времени х ее координата у =fx). Пусть А - точка координатной прямой Оу, в которой точка Р находилась в момент времени х0, В - точка, в которой точка Р находилась в момент х0 + Ах > х0. Если точка Р двигалась по направлению из -оо в +оо, то fx0 + Ах) >fx0) и расстояние от А до В равно

/(х0 + Дх)-/(х0)= Ау.

Так как время, за которое точка Р переместилась из А в В, равно

Ау

Дх, то средняя скорость точки Р на отрезке АВ равна      = .

Мгновенная скорость v (или просто скорость) точки Р в момент времени х0 - это предел

Ау

v - lim vCD = lim     - f'(x0).

 

Поэтому f'(x0) - это мгновенная скорость точки Р.

Если же точка двигалась по направлению из +оо в -оо,

то  /(х0 + Дх)</(х0),   и расстояние от А  до В равно

/(х0)- f(x0 + Ах) = -Ау. В этом случае мгновенная скорость

v= lim =—^- = -f'(x0). Откуда получаем/'(x0) = -v. Такимобра-

Дг-Л Дх

зом, физический смысл производной в том, что f'(x0) - это мгновенная скорость (с учетом направления). В самых различных задачах (в том числе и экономических) производная функции У ~fx) интерпретируется как скорость изменения величины у относительно X.

Геометрический смысл производной. Рассмотрим определение производной с геометрической точки зрения. Пусть Г -график функции у =fx). Рассмотрим на Г точки А(х0, fx0)) и В(х0 + Ax,fx0 + Дх)) (рис. 2.1).

Прямая АВ называется секущей. Будем считать, что J{x) непрерывная функция. Тогда /(х0 + Ах) —> /(х0) при Ах —» 0, т.е. точка В стремится к А, когда Ах—>0.

Поскольку угловой коэффициент касательной к = f'(xQ), то уравнение касательной имеет вид

y = f(xQ) + f(x0)(x-xQ). (2.3)

Пусть Ч~^2.<(Р<^Ї)- Угол наклона секущей А В относительно оси Ох. Если существует предел lim q> = <рй, то прямая, прохо-

дящая через А и образующая с осью Ох угол ip№ называется касательной к графику Г в точке А. Таким образом, касательная -это предельное положение, к которому стремится секущая АВ, когда Дх -> 0. Отметим, что вертикальная касательная может получиться в двух случаях:

л я

 

Пусть С(х0 + Ах, /(х0)) - точка, дополняющая отрезок АВ до

прямоугольного треугольника ABC. Так как сторона АС этого треугольника параллельна оси Ох, то

Ау

Ъ<Р = Т- (2-2) Ах

 

Переходя к пределу в левой и правой частях равенства (2.2) при Дх -> 0, получим

 

Ч<Р<

Поэтому геометрический смысл производной состоит в том, что f'(x0) - это тангенс утла наклона касательной к графику

у =J{x) в точке (х0,/(х0)).

Уравнение касательной. Найдем уравнение касательной к графику Г функции>> = Дх) в точке Л(х0,/(х0)). Будем искать это уравнение в виде у = kx + Ъ. Так как А є Г, то должно выполняться равенство /(х0) = кх0 + Ь, откуда Ъ = /(х0) - кх0. Следовательно, касательная задается уравнением

у = Ь + /(х0)-Ь0 =/(х0) + *(х-х0).

 

Пример 2.4. Найти уравнение касательной к графику функции у = }4х в точке (1; 1).

2

Решение. Так как (Vx) , = U*~3 = (см- при^Р 2-3), то уравнение касательной

 

Односторонние производные. Если в формуле (2.1) обычный предел заменить на односторонний, то получается определение односторонней производной. Правой производной от функции fix) в точке х0 называется предел

 

J+K 01   д^о+о Ах

 

Левой производной от функции f{x) в точке х0 называется предел

,,/  ч     ,.    /К + Аг)-/(х0)

/'(Х0)=   ІШ1  •

 

Из свойств пределов функций следует, что в случае, когда функция/х) имеет правую и левую производные в точке х0 и они равны, то производная f'(x0) существует и /'(*о) = /+'(*о) = /-'(*о) ■ Если же /+'(*о) * Г(хо). то функция /х) не имеет производной в точке х0.

Пример 2.5. Показать, что функция /(х) = |х| не имеет производной в нуле.

Решение Имеем

|Дх| Ах: /;(0)= lim — = lim — =1, дг-»о*о Дх    ді-»о*о Дд:

, ч        |Дх| -Ах

/*(0)= lim        = hm —— = -1.

4і->о-о Дх     4і-»о-о Дд:

 

Так как /ДО) * /_'(0), то функция М не имеет производной в нуле.

Вообще, для функции у = [Дх)| точки, где/= 0, будут, как правило, точками излома графика, и в них у' не существует.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |