Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 2.2. дифференцируемость и непрерывность

Определение. Функция у=/(х) называется дифференцируемой в точке ху если ее приращение в точке х0 можно представить в виде

Ау = А Ах + а(Дх)Дх, (2.4)

где А - некоторое число, ог(Дх) - функция от Ах , являющаяся бесконечно малой при Ах -> 0.

Следующая теорема устанавливает связь между дифферен-цируемостью функции в точке и существованием производной в этой же точке.

Теорема 2.1. Для того, чтобы функция J[x) была дифференцируемой в точке xv необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция у =fix) дифференцируема в точке х0 Тогда ее приращение Ау можно представить в виде (2.4). Имеем

Ay         ААх + а(Ах)Ах        , N

lim — = lim     = hm [A + a(Ax)j = A

Дг-»0 AX      Ai-X>   ДХ Ді->0

Следовательно, производная f'(x0) существует и /'(*о) =y*-72

Достаточность. Пусть существует конечная производная ^(х0) - А. Тогда, по определению производной,

Ау

lim — = А .

Дг-»0 Дх

 

Положим а(6) = 0 и а(Ах) = ~ - А, если Ах * 0. Определенная так

функция аІАх) является бесконечно малой при Дх -> 0. Действительно,

 

lim а(Дх)= limf—-А = А-А = 0

 

Кроме того, Ау - ААх + а(Ах)Ах Тем самым доказано, что функция Дх) дифференцируема в точке х0.

Замечание. Если функция у =fix) дифференцируема в точке х0, то из равенства (2.4) следует, что Ау -> 0, когда Ах -* 0, т.е. функция fix) непрерывна в х0. Обратное утверждение неверно: функция может быть непрерывной в некоторой точке х0, но не быть дифференцируемой в х0. В качестве примера рассмотрим функцию >> = |х|. Она непрерывна в каждой точке. С другой стороны, в точке х0 = 0 функция у = |х| не имеет производной (см. пример 2.5) и по теореме 2.1 не является дифференцируемой.

Пусть функция .у =fix) дифференцируема в точке х0. Тогда Ау можно представить в виде (2.4). Как следует из доказательства теоремы 2.1, коэффициент А в формуле (2.4) совпадает с производной f'(xQ). Запишем формулу (2.4) следующим образом

 

f(x) = f(x0) + f'(x0)Ax + a(Ax)Ax. (2.5)

 

Далее, уравнение касательной в точке х0 (см. формулу (2.3)) эквивалентно уравнению

у = /(х0) + /'(х0)Ах. (2.6)

Сравнивая формулы (2.5) и (2.6), видим, что расстояние от точки P(x,fx)) на графике функции до точки Q(x,f(x0) + f'(x0)Ax) на касательной (рис. 2.2) равно а(Ах)Ах, т.е. является бесконечно малой более высокого порядка, чем Дх, когда Дх -> 0.

 

 

 

 

і

Р

< >

Q

 

О

х0 X

Рис 2 2

 

Вывод: геометрический смысл дифференцируемости функции J[x) в точке х0 состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей точки на касательной стремится к нулю «быстрее», чем Дх

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |