Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 2.3. правила дифференцирования

 

Процедура вычисления производной f'(x0) называется дифференцированием функции fx) в точке х0. Теоремы этого параграфа устанавливают правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций. В §2.4 мы увидим, что правила дифференцирования позволяют эффективно находить производные элементарных функций.

Теорема 2.2. Если функции и =fx), v = g(x) дифференцируемы в точке х0, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии g(x0) * 0) также дифференцируемы в точке х0, и выполняются следующие формулы

W41

иди коротко

(u±v) =u'±v',

(uv) =u'v + uv',

(u) _ u'v-uv' vJ '     v2 '

До казательство. Пусть приращения функций u,v,u± v,

и

uv и — вычисляются только в точке хп, так что

V и

Ди = /(х0 + Дх) - /(х0), Д v = #(х0 + Дх) - g(x0), A(u+v) = f(x0 + Ax) + g(x0 +Ax)- (/(x0) + g(x0))

и т.д. Нетрудно видеть, что приращение суммы Д(м + v) равно сумме приращений Аи + Av. Действительно,

А(и + v) = (u + Аи) + (v + Av) - {и + v) = Аи + Av.

Аналогично,

Д(м - v) = (и + Аи) ~(у + Av) - {и - v) = Аи - Av.

Поэтому

.       '   A(u±v)            Ли Av

(u±v) = lim -Ц—lim ^± lim ^-=u'±v'.

v      '    ді-»о   Дх      ді->о Дх   ді->о Дх

Найдем приращение произведения:

A{uv) = [и + Auj(y + Av) -uv = uAv + vAu + ДмДу.

Из дифференцируемое™ функций и и v в точке х0 следует их непрерывность в х0 (см. § 2.2), поэтому Аи -> 0 и Av -» 0, когда Дх —> 0. Следовательно,

(,„Л     цт Л(цу)    и„ мДу + уАц + ДцДу      .. Av

luv) = lim —-— = lim = и lim — +

лг->о  Дх     д*-»о      Дх дг->оДм

,.    Ди    ,.        ,. Av + v lim — + lim Ди lim — = uv' + vu' + 0v' = u'v + uv'.

Дх->0 Ддг    Лі-»0      Ax->0 AX

 

Найдем приращение частного:

J и") _ u + Au    u = у(ц+Дц)-ц(у+Ду) ^ уДц-цДу

v)    v + Ду   v            (у + Ду)у (у+Ду)у'

Отсюда получаем

(М) = lim         lim ,vAu~"Av = lim    Ax = и'у-иу'

VV/       Д*->0   ДХ       Дх-»о(у + Ду)уДх     Ді-»0   (у + Ду)у у

 

Пример 2.6. Пусть С - const. Так как х' = 1 и С = 0 (см. примеры 1.1 и 1.2),то(х + С)' = 1.

 

Пример 2.7.   їх2] = (хх) = х'х + хх' = 2х.

гт         -у о  і'П     Гх-1х'    0х-11 1

Пример 2.8.

- /         2          2 ~>

XJ        X         X X

 

Теорема 2.3. Если функция у =J[x) имеет обратную функцию х = g(y) и в точке х0 производная /'(х0)*0, то обратная функция g(y) дифференцируема в точке у0 = /(х0) и

g'M'-?ty

или

Доказательство. Положим a =f'(xQ). Тогда из дифференцируемое™/х) в х0 следует, что приращение Ay = f(x0 + Ах)- /(х0) можно представить в виде

 

Ау = аАх + аАх = (а + а) Ах,

где а = йг(Дх) —> 0 при Дх -* 0. Так как а * 0, то отсюда следует, что Дх -» 0, когда Ау —» 0. Имеем

 

4   '    Д>-»0    Ау       Ду-юДу    Дх-ХЛДхУ       / (хо)

 

Пример 2.9. Рассмотрим функцию у = х2 на промежутке [0; + оо). Для нее существует обратная функция х = -у/^. В точке

*0 * 0 производная ^ = 2х0 * 0. Следовательно, производная обратной функции х =      в точке у0 = Xq будет ~ = Учиты-

ау 2х0

вая, что х0 = т[у^, получим формулу

 

В частности, если у0 = 1, то ^{4уу= = -

 

Теорема 2.4. Если функция у -j{x) дифференцируема в точке t0 и g(t0) = х0, то сложная функция у =J(g(t)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула:

 

/Ы4-<о=/'ЫИ'о)

dt

или

Подпись:

У'і'У'х-'і-

 

До касательство. Функция у -fix) дифференцируема в точке х0, поэтому ее приращение можно представить как

^У = /'(х0) + а(Ах) Ах,

где Дх —> О при At —> О поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемое™) в точке tQ. Так как а(Дх) —> О при Дх -* 0, то о(Ах) -> 0 и при At -* 0. Поэтому

Производная логарифмической функции. Для функции

у ~ logo* имеем

 

Ay     log^X+Axl-lOg,, X

Ах ~    Ах       Ах       х А*

X

 

Подпись: ,=. = Нш(/'(х0))47 + »(^)-ЛХ0    д7^о" """At At /'(*o)g'('o) + 0 g,('o) = /'(*o)g'('o)

Пр и мер 2.10. Рассмотрим функции у - Vx их = t2 + 1. Для любого t0e R выполняется неравенство t2 +1 > 0. Значит, функция у = Vx дифференцируема (см. пример 2.9) в каждой точке х0 вида х0 = i2 + 1. Применяя теорему 2.4, получим

X         t X

 

где t =      Используя непрерывность функции logox в точке X = е

и первый замечательный предел, найдем производную логарифмической функции:

(log. х) = 7loge(jim(l + ')') = ^loga е = -j^.

 

+1 ,-,   =~Г-/х      j , ~т('2 + 0,-/   =    <          2/Q = Г

 

Теперь мы можем изменить обозначения. После замены tQ на х запись формулы становится более компактной:

 

47Г

4x^1

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |