Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 2.6. предельные величины в экономике

Теоретический анализ разнообразных явлений экономики использует ряд предельных величин. Перечислим лишь некоторые: предельные издержки, предельный доход, предельная производительность, предельная полезность, предельная склонность к потреблению и т.д. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. В качестве характерного примера рассмотрим предельные издержки.

Пусть q - количество произведенной продукции, C(q) - соответствующие данному выпуску издержки. Предельные издержки обозначаются МС и определяются как дополнительные издержки, связанные с производством еще одной единицы продукции. Другими словами,

MC = C(q + Aq)-C(q), где Aq = 1. Используя равенство ДС я dC, получим МС = АС * dC = C'(q) ■ Aq = C'(q).

Общая схема введения предельных величин такова: пусть величина у является функцией от величины X, тогда предельная ве-

AY ^

личина Л/У (по X) определяется как отношение — • Приращение

АХ в различных случаях задается по-разному. В одних случаях АХ- это наиболее естественная единица измерения величины А', в других случаях АХ- это разность между соседними значениями X в таблице, задающей функцию у от X. В теоретических вопросах, однако, более удобным является определение MY, основанное на равенстве

му=у;.

Конечно, при таком определении приходится дополнительно предполагать, что у является дифференцируемой функцией отЛ'.

§2.7. Логарифмическая производная

Определение. Логарифмической производной положительной функции у = f(x) называется производная (1пу)'х.

Так как (in х) = —, то по правилу дифференцирования сложной функции получим следующее соотношение для логарифмической производной

(M=J- (2.28) Если производную у' рассматривать как скорость изменения

функции у, то величину ~ естественно считать ее относительной

скоростью изменения. Из формулы (2.28) становится ясным, почему логарифмическую производную (In у)' называют также относительной скоростью изменения функции у или ее темпом роста

Для не обращающейся в нуль функции у -J(x) логарифмическую производную определяют как (1п[у|)'. Из (2.8) следует, что формулу (2.28) можно записать в более общем виде

 

Ш) =у- (2.29)

2V

С помощью логарифмической производной удобно вычислять обычную производную в тех случаях, когда логарифмирование упрощает вид функции. Такое вычисление основано на формуле

 

у' = у(1пу), (2.30)

полученной из соотношения (2.29) умножением нау.

Используя формулу (2.30), найдем производную функции вида у = и", где и = и(х), v = v(x) - дифференцируемые функции, производные которых известны:

 

у'=у(Ьу) =uv(ylnu) =и"1 v'lnu + v(lnM)

Пр им ер 2.19. Найти производную функции у = л/х|дс|* Решение. Применяя тождество (2.30), находим

у' = у{Щ)=у[ц^) =у[{х+)Цх\] =

 

Пусть К — K(t) - приближенная величина вклада в момент времени t. Можно ли определить (приближенно) ставку банковского процента г по функции K(t)7 Если проценты начисляются один раз за период времени At, то проценты за период составят KrAt (мы считаем, что г - номинальная ставка за год, At - доля года). Так как приращение вклада и проценты по вкладу - одно и то же, то АК - KrAt. Отсюда

<231>

 

Предположим, что функция K{t) имеет производную lC(t). Тогда мы можем заменить в равенстве (2.31) приращение АК на дифференциал dK = К At, в результате получим

"Ш'Т'М'- <2-32>

Вывод: ставка банковского процента г совпадает с логарифмической производной от величины вклада.

лась

Пример 2.20. Пусть K(t) = KQ(t+ 1)I-S, где t - число лет от открытия вклада, К0 - величина вклада в начальный момент времени t = 0. Тогда мы можем определить, как изменя-

ставка процента г = /•(/). Действительно,

= [in#0 + 1,51п(ґ +1)] = j^j, или, в процентах г « (t +1) ' 150\%.

Так, через два года после открытия вклада ставка была г * 50\% годовых, через 5 лет ставка уменьшилась до 25\% годовых и т.д. Отметим, что абсолютная скорость роста вклада при этом не убывала, а возрастала, поскольку К' = l,5K0-Jt +1.

Разобранные выше примеры - далеко не единственная область применения логарифмической производной. С ее помощью можно получить мгновенную оценку доходности какого-либо актива (если, конечно, известна его стоимость как функция от времени). Пусть' например, в обращение сроком на 1 год выпущен вексель. Предположим, что его рыночная стоимость меняется линейным образом от 75\% на момент выпуска до 100\% на момент погашения,

т.е. Bit) = -^-^А, где 0 < / < 1 - время в долях года, Ь, - конечная 4 '

стоимость векселя. За первую неделю после выпуска относительный прирост его стоимости будет приблизительно

ЧАН0) (зИ*'-3*'

= т77 = 0,641\%.

В(0)     Зі, 156

Таким образом, за первую неделю доходность векселя составит 52 ■ 0,641 = 33,3\% годовых. За последнюю неделю относительный прирост стоимости будет сель обеспечивает доходность больше г. Таким образом, владельцу векселя выгодно продать его через 6 месяцев после его выпуска. Возникает естественный вопрос: что побуждает покупателя приобрести вексель, доходность которого упала ниже г? Существует несколько мотивов покупки. Возможно, например, что покупатель ожидает в ближайшем будущем падение ставки г ниже доходности векселя. Другой мотив - покупатель стремится объявить банкротом эмитента векселя.

(2.33)

> г.

Рассмотренный пример с векселем является частным случаем более общей модели. Пусть A(t) - стоимость некоторого актива А в момент времени t, г- доходность от вложения денег в другие активы. Считаем, для простоты, что г не зависит от времени. Когда выгодно покупать или продавать актив А? Для ответа на данный вопрос найдем интервал времени, в течение которого мгновенная доходность актива А будет больше г. Так как мгновенная доходность А совпадает с темпом роста его стоимости, то искомый интервал времени задается неравенством

 

мо)

♦3| 1

= 0,483\%,

 

что составляет 52 ■ 0,483 = 25,1\% годовых. Нетрудно убедиться, что полученные результаты незначительно отличаются от мгновенных темпов роста стоимости векселя. Действительно,

1

(ln5(0)'=[ln(. + 3) + ln(^

t + У

 

Таким образом, мгновенная доходность в момент t = 0 равна у ,

что составляет 33,3\% годовых, и в момент / = 1 равна ^, что составляет 25\% годовых.

Предположим, что преобладающая ставка процента г на де-2

нежном рынке равна -(« 29\% годовых). Решая неравенство

t + з > -j' найдем, что при / < -, т.е. в первой половине года век-90

Если неравенство (2.33) задает интервал (/,, /,), то актив А следует купить в момент ti и продать в момент tr Множество решений неравенства (2.33) может иметь и более сложную структуру. Если, например, это множество является объединением двух интервалов (-QO, г,) и (/2, +оо), то актив А выгодно продать в момент f, и снова купить в момент tT

Пример 2.21. Пусть г= 10\% годовых, A(t) = Ce"ctt С - const. В какой момент времени выгоднее всего купить (продать) актив А7

Решение. ДняфункцииЛ(/) = Се""'8'неравенство(2.33)преобразуется к виду

 

1    > 0,1.

 

Отсюда г2< 9. Поэтому доходность актива более 0,1 на интервале (-3; 3). Следовательно, актив выгодно купить в момент t = -3 и продать в момент / = 3.

Подпись: 1 К перечисленным ниже можно добавить еще такое свойство- эластичность (2.34) является безразмерной величиной и не зависит от выбора единиц измере¬ния величину и х Это утверждение следует из безразмерное™ и независимости
от выбора единиц измерения отношений — и —
У *
§2.8. Эластичность и ее свойства

Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций.

(2.34)

Определение. Эластичностью функции у = f(x) в точке хд называется следующий предел

 

ЕуЛхо)= lim — :—

 

Говорят также, что Е^х^) - это коэффициент эластичности у по X.

Если из контекста ясно, в какой точке определяется эластичность и какая переменная является независимой, то в обозначении эластичности могут опускаться отдельные символы. Мы будем часто использовать сокращенные обозначения ЕуиЕух.

Из определения эластичности вытекает, что при достаточно малых Ах выполняется приближенное равенство

 

ух у

4ув

Е

которое можно записать в виде

у

Ах

(2.35)

Вывод: эластичность Еу - это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин у и х. Если, например, х увеличится на один процент, то у увеличивается (приближенно) на Еу процентов.

Ниже нам потребуется несколько формул, выражающих эластичность через производные функции. Заметим, во-первых, что

 

=   хо   /(х0 + Ах)-/(х0) = _^

/(х0)д*->о       Ах /(x0)7vo;

или

еу=У'- (2-36)

Таким образом, если д:0*0и /(х0) * 0, то для существования конечного предела (2.34) в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная f'(x0). Далее, предста-у'

вим отношение — как логарифмическую производную. Соответ-У

ственно, формула (2.36) запишется тогда в виде

Еу=х(пу). (2.37)

 

Наконец, заметим, что х = -р-^- =   , поэтому эластичность ty

(1пх)

совпадает с отношением логарифмических производных

р (М'

7- (2.38) (lnx)

Рассмотрим теперь ряд свойств эластичности1. 1. Эластичность в точке х0 суммы У = ух+—+У„ положительных функций yt =/(х) (i = 1, 2,     и) удовлетворяет соотношению

Е   <Е <Е   ,    (2 39)

mm — ^у — *^тах '   Vі" J7J

где Е  (Е   ) - это минимальная (максимальная) эластичность

тіл4   max1      1 '

в точке х0 функции у}.

Доказательство. Воспользуемся формулой (2.36):

ху'   ху[+...+ху'„ у1Е1+...+у„Е„

Еу-      ,

У         У У

где Ег - эластичность yt в точке х0. Пусть а, = —(/' = 1,...,л) -доля yt в сумме у. Тогда у

Еу=аіЕх+...+аПЕп. (2.40)

Так какyt > О, то все а > 0 и а, +...+ ап- 1. Из определения Ет следует, что Е > Е . Используя (2.40)" получим

> а,Ет,„+...+а„Е„,„ = Е„,„.

у          і     /піл            я     піл л/л

Далее, Et < Е^ поэтому

Е <а,Е   +...+а Е    = Е .

у     "1    max   п   max '''max'

Эластичность произведения функций и = и(х) и v = v(x) в точке х0 равна сумме эластичностей функций и и v в той же точке:

EUV = EU + EV. (2.41)

Доказательство. Используя формулу (2-37) и свойства логарифмической функции, получим

(           (           г і

Euv=x( uv) -x( u + lnv) = х(пи) +x(]nv) =En+Ev.

Эластичность частного функций и = и(х) и v = v(x) в точке х0 (v(x0 ) * 0) равна разности эластичностей функций и и v в той же точке:

Eulv = Eu-Ev. (2.42)

Доказательство. Снова используем формулу (2.37) и свойства логарифмической функции:

62

Eulv = х[п—j = x(ln«-lnv) = х(пи) -x(lnv) ~EU-EV.

Для функций у =/(*) и х = g(t) эластичность у по t в точке t0 удовлетворяет следующему равенству:

Eyl(t0) = Eyx(g(t0))Exl(t0). (2.43)

Доказательство. Применяя формулу (2.38) и правило дифференцирования сложной функции, получим

 

г і,    (InУ) t    ОМ '(Inx) /

(In/),     (tax), (In/),

 

Ext(t0) = Eyx(g(t0))Esl(tQ).

(tax) xx

5. Для функции y-f(x) эластичность обратной функции x~g(y) в точке у0 удовлетворяет соотношению:

Exy{y0)=Eyx'(g(y0j). (2.44)

Доказательство. Поскольку g(y) - обратная функция, то выполняется тождество

Му)) = у-

Применяя формулу (2.43), получим

y(y0)=lJ^M = l,

УК       Ду-хА, у    у )

 

Eyx(g(y0))Exy(y0) = Е„(у0).

 

Так как Еп(у0) = lim —:— =1, то

 

откуда следует равенство (2.44).

Пример 2.22. Пусть у = С - const. Используя (2.36), получим

С

ЕГ=х— = 0. с С

Пример 2.23. Найти эластичность функции у = х + С, С - const.

Решение. По формуле (2.36) получаем

 

у       х+С х+С

Пример 2.24. Найти эластичность степенной функции

у = ха.

Решение. Применяя форму (2.37), находим эластичность

'           ' 1

Е =х(а]пх") = x(akix) =ха— = а.

х

Геометрический смысл эластичности. Напомним, геометрический смысл производной: f'(x0) - это тангенс угла наклона касательной к графику функции у =/(х) в точке С(х0, -Уо)' Уо =ЛХ0)- Геометрический смысл эластичности функции Xх) в точке х0 связан с разбиением данной касательной на отрезки точками А, В к С, где А(х0, 0) - точка пересечения касательной с осью Ох, 5(0, уь) - точка пересечения касательной с осью Оу (рис. 2.3).

С помощью векторов формулы (2.45), (2.46) можно записать в виде одной формулы

ВС=Еух(х0)АС. (2.47) Докажем равенство (2.47). Уравнение касательной имеет вид

У = Уо+Г{хох~хо)- <2-48) Подставив в уравнение (2.48) координаты точки В(0,уь), получим

Уь =Уо-/'(хо)хо-

Подставив в уравнение (2.48) координаты точки А(х0,0) получим равенство

0 = УО+/'(Хо)(Ха -*о).

из которого находим

Если эластичность у по х положительна, то она совпадает с отношением длин отрезков ВС и АС:

Х„ — Хп —

Уо

 

Подпись: Так как
Подпись: (2.45)

 

Если же эластичность у по х в точке х0 отрицательна (рис. 2.4), то выполняется следующее соотношение:

АС = (х0-ха,у0) =

Уо

'Уо

 

 

96

(2.46)

 

ВС = (х0,у0 -уь) = (хо,/'(хо)хо

то

 

5c = Zfcb

АС-Е^АС.

Уо

Ценовая эластичность спроса. Пусть D = D(p) - спрос (в натуральных единицах) на некоторый товар при цене р. Так как при увеличении цены спрос уменьшается, то эластичность спроса ED < 0. Спрос называется эластичным, если ED > 1, и неэластичным, если ED\< 1. Термин совершенно неэластичный спрос

7-1942 97

означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. В этом случае ED - 0. В другом крайнем случае, когда самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличивать покупки от нуля до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. Можно считать, что для совершенно эластичного спроса ED ■- со.

Если спрос со стороны отдельных покупателей или групп покупателей является эластичным (неэластичным), то и суммарный спрос также является эластичным (неэластичным). Это утверждение следует из первого свойства эластичности. Действительно, пусть спрос D:{p) каждого покупателя (/ = 1,2,п) является эластичным. Тогда для эластичности ED спроса D имеем неравенство ED < -1.

Пусть Етах = |£D|,EDi ,...,ED^. Поскольку ED < -1 для всех / = 1,п, то и Е^ < -1. Применяя формулу (2.40), получим для эластичности суммарного спроса неравенство ED < Етах <-1. Следовательно, суммарный спрос также является эластичным. Для неэластичного спроса доказательство аналогично.

Если продавцы обладают достаточными запасами товара, то D = D{p) - это не только количество спрашиваемого товара, но и одновременно количество проданного товара. В этом случае общая выручка всех продавцов R = pD. Находим эластичность выручки по цене

 

R'      D + pD1            D'     , „

Ев = —р =      р = 1 + — р = 1 + Еп.

R    RF      pD   У       D D

 

Следовательно, при эластичном спросе ER < 0, а при неэластичном спросе ER>0.

Вывод: Если спрос эластичен, то изменение цены вызывает изменение общей выручки в противоположном направлении. Если же спрос неэластичен, то изменение общей выручки происходит в том же направлении, что и изменение цены.

Проводя графический анализ эластичности спроса, следует помнить, что в экономической теории принято ось цен изображать вертикально, несмотря на то, что спрос D рассматривается при этом как функция цены р. С учетом этого замечания, используя формулу (2.46) (или (2.47)), приходим к следующему выводу: эластичность (неэластичность) кривой спроса в точке С означает, что отрезок касательной, проведенной к этой кривой в точке С, с концами А и В на осях координат (рис. 2.5), делится точкой С так, что отрезок АС короче (соответственно, длиннее) отрезка ВС.

Для линейной функции спроса Dip) = kp+ b(k<0) касательная к графику совпадает с прямой спроса. В этом случае точки С, в которых спрос эластичен (неэластичен), расположены выше (соответственно, ниже) середины М отрезка АВ (рис. 2.6).

§2.9. Распределение налогового бремени

Пусть р - цена товара на некотором рынке, S{p) - его предложение при цене р, Dip) - спрос. Равновесная цена р0 определяется уравнением

S(Po)=D(pQ).

Предположим, что вводится дополнительный налог с производителей в размере t с каждой единицы товара. Так как зависимость предложения от цены определяется прибылью, а при цене р и на

логе / прибыль такая же, что и при ценеp-tn отсутствии дополнительного налога, то St(p) " Sip -t), где St(p) - функция предложения после введения налога. Таким образом, кривая предложения после введения налога сдвигается на t вверх (рис. 2.7).

Пусть pt - новая равновесная цена. Равенство спроса и предложения при цене pt выражается уравнением

S,(p,) = D(p,), которое эквивалентно уравнению

S(pt-t) = D(pl). (2.49)

(2.50) (2.51)

Заменяя приращения функций Sip) и Dip) в точке р0 на их дифференциалы, получим (приближенные) равенства:

S(p0+Ap) = S(p0) + S'(p0)*P, D(p0 + Ap) = D(p0) + D'(pQ)Ap,

в которых Ap=pt-p0 -изменение равновесной цены. С учетом (2.50), (2.51) равенство (2.49) приобретает вид

Так как Sip0) ~ D(p0), то последнее равенство эквивалентно равенству

S'(pQAp-t)=D'(p,)Ap.

Откуда

tS'(p0)

^S'M-DUY (2-52)

 

Итак, после введения дополнительного налога на покупку единицы товара затраты потребителя увеличатся на величину Ар, которую можно (приближенно) рассчитать по формуле (2.52). Соответственно, доход производителя (также на единицу продукции) уменьшится на

 

S'{p0)-D'(poy

 

Следовательно, налоговое бремя распределяется между потребителями и производителями продукции в отношении

Ap:[t-Ap] = S'(p0):[-D'(Po) Поскольку в точке р0 спрос равен предложению, то

о/ Г ™/ М s'{Po)Po -D'(Po)Po с г с л

S (Ро): [- D (р0)) =      : -^-j- = Es : [- ED

где ED, Es - коэффициенты эластичности спроса и предложения в точке р0.

Пр и мер 2.25. Пусть ценовая эластичность спроса равна (-3), ценовая эластичность предложения равна 2, а вводимый налог / = 100. Тогда цена после введения этого налога увеличится

2

на 2 + 2 = а пРи^ьигь производителя от единицы продукции уменьшится на 100 - 40 = 60.

S(Po) + S'{p0)(Ap -t) = D(p0) + D'(p0)Ap.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |