Имя материала: Математика в экономике Часть 2 Автор: Солодовников А.С. § 2.10. теоремы о промежуточных значениях
Теорема 2.5 (теорема Ферма). Пусть функция f(x) определена на интервале (а, 6)' и в некоторой точке xQ этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда возможны только два случая: производная fix Л не существует, f'(x0) = 0. Доказательство. Если f'(x0) не существует, то доказывать нечего. Если f'(x0) существует, то существуют и равны обе односторонние производные в точке х0: Л'М=/-'(*<>)• Предположим, для определенности, что х0 - точка максимума. Тогда для любой точки х - х0 + Ах из интервала (а, Ь) выполняется неравенство Ау =Дх) -flx0) < 0. Поэтому — < 0, если Ах > 0 Ах и — > о, если Ах < 0. Переходя к пределам, получим Ах /+'(х0)= Hm ^<0, v ' Дх-»0+0 Ах /1(х0)= lim ^>0. v 0/ ь->о-оАх Поскольку f;(xQ) = f!(x0) = f(x0), то f'(x0) = 0. max
mm О *о b Рис. 2.8 6 х —► О Рис. 2.8 а Здесь а - число или -<х>,Ь- число или + <ю. Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что касательная к графику функции у =j{x) в точке (х0, J[x0)) параллельна оси Ох, если х0 - точка максимума или минимума функции f(x) на интервале (а, Ь) (рис. 2.8 а, б).
Теорема 2.6 (теорема Ролля). Пусть функция fix): непрерывна на отрезке [а, Ь]; дифференцируема на интервале (а, Ь) Яа) = ДЬ). Тогда существует точка сє(а, b), в которой f'(c) = 0. Доказательство. Так как функцияДх) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она принимает в некоторых точках хтт и хтах минимальное и максимальное значения: т = Ях ), М= fix ). ^v mm'' ^v max' Если m = M, то Лх) ~tn- const и в любой точке интервала (а, Ь) производная /'(•*)= 0. Поэтому мы можем считать, что т*М. Положим с = хмп, если Ла) * т-> и с = хтах> если /(а) = т. При таком определении с имеем с *■ а. Поскольку/(6) =/(а), то f(b) * /(с), поэтому с * Ъ. Итак, с - это точка максимума или минимума функции Лх) и с є (а, Ь). По теореме Ферма fc) = 0. Теорема 2.7 (теорема Лагранжа). Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема на интервале (а, Ь). Тогда существует такая точка с е (а, Ь), что f{b)-f{a) = fc-a). (2.53) Формула (2.53) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Доказательство. Введем вспомогательную функцию <*) = (/(*) " АФ - «) - (f{b) - f{a)){x - а). Тогда: 1) Ha) = h(b) 2) h(x) непрерывна (дифференцируема) в тех же точках, в ко- торых непрерывна (дифференцируема) функция Дх), т.е. h(x) не- прерывна на [а, Ь] и дифференцируема в (а, Ь). По теореме Ролля существует точка с е(а, Ь), в которой И'(с) = 0. Так как h'(c) =f (с)Ф - a) -fib) +fia) = 0, то в точке с выполняется ра- венство (2.53). Чтобы понять геометрический смысл теоремы Лагранжа, запишем формулу (2.53) в виде Щ^-т (2.54, Производная/'(с) - это тангенс угла наклона касательной к графику функции у =fix) в точке С(с, fie)), а отношение /(»)-/(«)
Формула (2.54) означает, таким образом, что на интервале (а, Ь) найдется такая точка с, что касательйая к графику в точке (c,fic)) параллельна секущей АВ.
Теорема 2.8 (теорема Коши). Пусть функции fix) и gx) непрерывны на отрезке [а, Ь] и дифференцируемы на интервале (а, Ь). Пусть, кроме того, £(х) * 0 на (а, Ь). Тогда существует точка с є (а, Ъ), такая, что /(b)-f(o). /'(с) ( } Доказательство. Докажем сначала, что gib) *g(a). Действительно, если бы выполнялось равенство g(b) = g(a), то по теореме Ролля нашлась бы точка jc0 е (а, Ь), в которой gX^o) = 0. А это противоречит условию теоремы. Определим на [а, Ь] вспомогательную функцию *>-*>-*>-'^$М*)-«<4 Нетрудно убедиться в том, что И(х) непрерывна на [а, Ь], дифференцируема на (а, Ь) и h(a) = h(b) = 0. По теореме Ролля существует точка с е (а, Ь), такая что й(с) = 0. Поскольку h'le) = /'(с) - f} ~ g'(c) = 0, то, учитывая, что g'(c) * 0, получаем формулу (2.55).
|
Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | |