Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 2.10. теоремы о промежуточных значениях

Теорема 2.5 (теорема Ферма). Пусть функция f(x) определена на интервале (а, 6)' и в некоторой точке xQ этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда возможны только два случая:

производная fix Л не существует,

f'(x0) = 0.

Доказательство. Если f'(x0) не существует, то доказывать нечего. Если f'(x0) существует, то существуют и равны обе односторонние производные в точке х0:

Л'М=/-'(*<>)•

Предположим, для определенности, что х0 - точка максимума. Тогда для любой точки х - х0 + Ах из интервала (а, Ь) выполняется неравенство Ау =Дх) -flx0) < 0. Поэтому — < 0, если Ах > 0

Ах

и — > о, если Ах < 0. Переходя к пределам, получим Ах

/+'(х0)=  Hm ^<0,

v    '    Дх-»0+0 Ах

/1(х0)=  lim ^>0. v 0/ ь->о-оАх

Поскольку f;(xQ) = f!(x0) = f(x0), то f'(x0) = 0.

max

mm

О

*о b Рис. 2.8 6

х —►

О

Рис. 2.8 а

Здесь а - число или -<х>,Ь- число или + <ю.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что касательная к графику функции у =j{x) в точке (х0, J[x0)) параллельна оси Ох, если х0 - точка максимума или минимума функции f(x) на интервале (а, Ь) (рис. 2.8 а, б).

Однако в точке максимума (минимума) х0 производная f'(x0) может и не существовать (рис. 2.8 в, г).

Теорема 2.6 (теорема Ролля). Пусть функция fix):

непрерывна на отрезке [а, Ь];

дифференцируема на интервале (а, Ь)

Яа) = ДЬ).

Тогда существует точка сє(а, b), в которой f'(c) = 0.

Доказательство. Так как функцияДх) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она принимает в некоторых точках хтт и хтах минимальное и максимальное значения: т = Ях  ), М= fix ).

^v mm''            ^v max'

Если m = M, то Лх) ~tn- const и в любой точке интервала (а, Ь) производная /'(•*)= 0. Поэтому мы можем считать, что т*М. Положим с = хмп, если Ла) * т-> и с = хтах> если /(а) = т. При таком определении с имеем с *■ а. Поскольку/(6) =/(а), то f(b) * /(с), поэтому с * Ъ. Итак, с - это точка максимума или минимума функции Лх) и с є (а, Ь). По теореме Ферма fc) = 0.

Теорема 2.7 (теорема Лагранжа). Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема на интервале (а, Ь). Тогда существует такая точка с е (а, Ь), что

f{b)-f{a) = fc-a). (2.53)

Формула (2.53) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Доказательство. Введем вспомогательную функцию <*) = (/(*) " АФ - «) - (f{b) - f{a)){x - а).

Тогда:

1)         Ha) = h(b)

2)         h(x) непрерывна (дифференцируема) в тех же точках, в ко-

торых непрерывна (дифференцируема) функция Дх), т.е. h(x) не-

прерывна на [а, Ь] и дифференцируема в (а, Ь). По теореме Ролля

существует точка с е(а, Ь), в которой И'(с) = 0. Так как

h'(c) =f (с)Ф - a) -fib) +fia) = 0, то в точке с выполняется ра-

венство (2.53).

Чтобы понять геометрический смысл теоремы Лагранжа, запишем формулу (2.53) в виде

Щ^-т (2.54,

Производная/'(с) - это тангенс угла наклона касательной к графику функции у =fix) в точке С(с, fie)), а отношение

/(»)-/(«)

Формула (2.54) означает, таким образом, что на интервале (а, Ь) найдется такая точка с, что касательйая к графику в точке (c,fic)) параллельна секущей АВ.

Теорема 2.8 (теорема Коши). Пусть функции fix) и gx) непрерывны на отрезке [а, Ь] и дифференцируемы на интервале (а, Ь). Пусть, кроме того, £(х) * 0 на (а, Ь). Тогда существует точка с є (а, Ъ), такая, что

/(b)-f(o). /'(с)

( }

Доказательство. Докажем сначала, что gib) *g(a). Действительно, если бы выполнялось равенство g(b) = g(a), то по теореме Ролля нашлась бы точка jc0 е (а, Ь), в которой gX^o) = 0. А это противоречит условию теоремы.

Определим на [а, Ь] вспомогательную функцию

*>-*>-*>-'^$М*)-«<4

Нетрудно убедиться в том, что И(х) непрерывна на [а, Ь], дифференцируема на (а, Ь) и h(a) = h(b) = 0. По теореме Ролля существует точка с е (а, Ь), такая что й(с) = 0. Поскольку

h'le) = /'(с) - f} ~ g'(c) = 0, то, учитывая, что g'(c) * 0, получаем формулу (2.55).