Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 2.11. правило лопиталя

 

Теорема 2.9 (правило Лопиталя). Пусть А - число, символ одностороннего предела (А = а ±0) или символ бесконечности (А = ±оо). Пусть функции f(x) и g(x) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х —> А. Тог-fix)

да, если существует предел lim —)-!- (конечный или бесконеч-

х-*л g'{X)

fix)

ный), то существует и предел lim   . !, при этом выполняется

*-м g(x)

равенство:

lto4±L,imZM.

До каз ателье те о этой теоремы дадим только в случае, когда /(*), gix) - бесконечно малые функции и А = а - число. Изменим, если это необходимо, определение функций f(x) и gix) в точке а так, чтобы значения этих функций в точке а были бы

равны нулю: fix) = g(x) = 0. Так как Ymf(x) = 0 = f(a) и limg(x) = 0 = g(M,To fix) и gix) непрерывны в точке а, и к этим

х-*а   v  ' 47

функциям можно применить теорему Коши (см. § 2.10). Учитывая, что fia) =f{b) = 0, получим

/(*)_/(*)-/(«) Г(с) g(x)~ g(X)-g(a)-g'(c)'

 

для некоторой точки с, расположенной между точками а их. При х -» а имеем с —> а и, следовательно

 

f(x)

Напомним, что предел lim  , : называется неопределенностью

g(x)

вида^ (или — ), если f[x) -» 0, gix) -> 0 (соответственно, |/"(дг)| —> +оо, |g(x)| -> +оо), когда х     А. Правило Лопиталя по-

,.   /(*)        0 со зволяет во многих случаях найти предел lim:~-'- вида -, — или,

*->а g(;c)        0 да

как говорят, раскрыть неопределенность. Пример 2.2d. Найти Нт

со

Решение. Имеем неопределенность —. Применяя прави-

оо

ло Лопиталя, получим

I

.. пх .. (inx) 2jx п

lim -=■ = lim J            '— = lim —=— = lim  = 0.

*-*« yjx       Jr-»«0 /  r—        ДГ-ЮО     1    j-»oo x

Пример 2.27. Найти Hm^-, и - натуральное число.

г          х-нп е

00

Решение. Имеем неопределенность — . Применяя правило Лопиталя, найдем

 

lim — = lim —- lim ——.

И

 

Снова получили неопределенность— (если п - 1 > 0). Применим правило Лопиталя повторно:

 

lim       = lim —           j           .

х-мо   gx        х-ио e

 

Если и - 2 > 0, то х"~2 -* со и правило Лопиталя можно применить еще раз и т.д. В результате получаем цепочку равенств

 

lim—= lim——= lim -і           {          =...= lim —= 0.

х-»<я ex     jr-*<e   gx        х-ка          e          x-*co Є

 

Пример 2.28. Найти lim(e* -x").

получим

 

Решение. Имеем неопределенность оо -co. После тожде-

ственного преобразования ех - х" = ех

V e'j

 

( х")

\т(ех -х")= imex   1-lim — =+oo(l-О) =+°°,

 

где мы использовали равенство lim — = 0 (см. пример 2.27).

х-»со е*

2VT

 

Пример 2.29. Найти limfV*2 + х - V*3 + х2).

х-юЛ /

= lim

Решение. Имеем неопределенность оо-оо. Раскроем эту неопределенность, применяя правило Лопиталя после тождественного преобразования и замены переменной у =

 

і   I _2 (, + *)~2--( + y)~l

 

Пример 2.30. Найти  lim jclnx.

Решение. Имеем неопределенность вида 0 • оо. После преобразования хпх = р± получаем неопределенность Ищ —

1 х->0+0ГП

00

вида—, которая легко раскрывается по правилу Лопиталя:

00

 

lim -!"£- ит      v      U , ,

 

В ряде случаев по правилу Лопиталя удается раскрыть неопределенности вида 0°, Г и оо°. Для этого следует воспользоваться тождеством и(хГ> = е™* которое приводит указанные нео-пределенности к виду 0 • 00.

Пример 2.31. Найти  lim х".

х-* 0+0

Решение. Имеем

lim хх = lim e'lnx = e       = e° = 1.

x->0+0 X-+0+0

Здесь мы воспользовались тем, что lim хпх = 0 (см. при-

х->0+0

мер 2.30) и непрерывностью функции у = ех.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |