Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 2.13. высшие производные

 

Пусть f'(x) - производная функции f{x). Функция f'(x) называется также первой производной. Производная от f'(x) называется второй производной функции f(x) и обозначается f"(x) или /(2х). Третьей производной функции f(x) называется производная ог/"(я), она обозначает/"'(*) или/(3)(*)- Вообще, п -й производной от функции /(*) называется производная от ее (п- 1)-й производной: f{rx) = (f"~x))'. Говорят также, что /(пх) - это производная порядка л от функции /(*).

Если х0 - это фиксированная точка, то символ/(я)(*0) обозначает производную п -го порядка от функции f(x) в точке х0. Дня ее существования необходимо существование производной f(n~l)(x) не только в точке х0, но и в некоторой окрестности этой точки.

Производная порядка л степенной функции. Пусть у = ха - степенная функция с произвольным (не равным нулю) показателем а. Первая производная у'= ахаХ. Если а - 1 * 0, то вторая производная у(2)= а(а- 1)ха~2. Если а - 2 * 0, то У3,= а(а- )(а-2)ха'1 и т.д. Таким образом, если а не является натуральном числом, то л-я производная имеет вид:

(ха ){п] = а(а - )...{а - л +1)*""". (2.60)

Если же а - натуральное число, то формула (2.60) имеет смысл только для п < а. Рассмотрим подробнее случай, когда а - натуральное число, а порядок производной л = а. В этом случае формула (2.60) выглядит так:

(х"){п) = и(м-1)...2 1.

Напомним, что произведение натуральных чисел от 1 до л называется факториалом числа л и обозначается и!. Поэтому («"У"' = л!. Для натурального а в случае л > а, очевидно, л-я производная от ха равна нулю. Пример 2.34.

(х4)=4х

it

(jc4) = 4-Зх>12*2, (х4) = 4-3-2х = 24х, (дг4у4) =4-3-2-1 = 4! = 24, (x4)W=0,«>4. Пример 2.35.

 

(Л)М=-(-і)"з-5-7,...(2„-3)..

Производная порядка я показательной функции у-а* (О < а Ф 1).

Последовательно дифференцируя, находим

у' = ахпа, у" = ах(па)2,...,у{л)=ах(па)п. В частности, если у = ех, то для любого и имеем

(ez)(n)=ex.

Производные порядка п функций sin х, cos х. Пусть у = sin х. Последовательно дифференцируя, получим

у' = cosx = sin^x + yj,/' = -sinx = sin^x + 2-yj,...,= =     = sin^x + Hyj. Аналогично выглядит формула для и-й производной функции cos х: (cosx)^ =cos^x + «y)-

Пример 2.36.

 

(cosx)^ = cos^x + 10~j = cos(x + ir) = -cosx.

 

Производная порядка n функции у = In х. Последовательно дифференцируя, находим производные

y = I V» = _-L V(3) = — V(4)=-— -

 

Пример 2.37. (lnxf)=4 = Z20

X' JC

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |