Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 2.17. неравенство йенсена и средние величины

Напомним, что множество Mb R2 называется выпуклым, если для любых точек А, В є М отрезок АВ целиком содержится в М В предыдущем параграфе было доказано, что отрезок, соединяю

щий точки А и В графика выпуклой функции, расположен выше графика. Очевидно, (рис. 2.21), что и отрезок А'В', концы которого расположены выше графика выпуклой функции, также расположен выше графика.

Определение. Надграфиком функции f(x) называется множество Ну всех точек(х0,у0}, таких, что функция f(x)

определена в точке х0 и у0> /(*<>)•

Фактически, мы доказали следующую теорему.

 

Теорема 2.26. Надграфик выпуклой функции является выпуклым множеством.

Напомним, что выпуклой оболочкой точек Л,,..., Ап называет-

ся множество всех точек вида аіА,+...+аяА„, где at,...,a„ - нео-

трицательные числа, сумма которых равна 1. Было доказано, что в

случае, когда все точки А:(і -          принадлежит выпуклому мно-

жеству М, выпуклая оболочка точек А, также содержится в М.

Вывод: выпуклая оболочка любых точек Аи...,Ап из над-графика Hf выпуклой функции f{x) содержится в Hf В частности, это верно и для точек Ajixpftx)), расположенных на графике функции >> =J[x). Пусть С(хс,ус) - произвольная точка из выпуклой оболочки точек Аг Тогда ее координаты

хс = а,х,+...+«„*„,

Ус =(*і/(х1)+...+анДхя).

 

УсловиеС є Ну означает, чтоус > f(xc) или

/(«,*,+...+«„*„) < aj{xx)+...+anf{xn). (2.78)

 

Неравенство (2.78) называется неравенством Йенсена. Это неравенство выполняется для любых неотрицательных чисел а, с

единичной суммой и для любых точек х, из промежутка X, на котором функция/(х) является выпуклой.

Положив в неравенстве (2.78)а, = а2 =...= ап = —, получим

и

следующее неравенство

 

(279)

 

где я- = 1 —-, - среднее арифметическое чисел х,,...,х„. С л

помощью неравенства (2.79) нетрудно получить неравенства, сравнивающие среднее арифметическое с такими средними величинами, как среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное.

Средним геометрическим положительных чисел х, называется число уде, ...х„. Функция - In х является выпуклой, так как

 

(-1пх)" = -^>0

x

при* > 0. Используя неравенство (2.79) для функции/(х) = -lnx, получаем неравенство

, -     tax, =...+ 1пх.

-1пх<  !           -,

п

из которого следует, что

і                       —(ІПХ.+   +ІПЛ.)     .   - —

Ф^:=е"[ "}<еь*=х,

т.е.

{среднее геометрическое} < {среднее арифметическое}. (2.80) 142

Средним гармоническим положительных чисел х, называется число ——-——. Вторая производная функции — положи-1' X

и

тельна | — ] =    > 0, если х > 0. Поэтому функция — выпукла на

^ХУ        xі x

интервале (0,+оо). Из равенства (2.79) для функции /(х) = — по-

х

лучаем неравенство

 

v і n

из которого следует, что

п

х--       Г'

— +...+ —

 

т.е.

{среднее арифметическое} > {среднее гармоническое}. (2.81) Средним квадратичным произвольных чисел х, называет-

ся число J——   Х" . Так как ^x2J =2 >0 при любом х, то

х2- выпуклая функция. Из неравенства (2.79) для функции /(*) = х2 получаем неравенство

 

(х)2<Х'+-+Х',

 

следовательно

{среднее арифметическое} < {среднее квадратичное}. (2.82)

 

С помощью средних величин можно сжимать имеющуюся информацию. Чаще всего для этого используют среднее арифметическое. Пусть, например, в народном хозяйстве занято 10 млн человек и по каждому работнику имеется информация о его доходах. При принятии экономических решений (введение налогов, изменение таможенных тарифов и т.д.) необходимо учитывать влияние этих решений на доходы населения. Однако, непосредственно работать с массивом из 10 млн чисел и неудобно, и бесполезно, поскольку изменения в доходах каждого отдельного лица могут быть не связаны с принятыми решениями. Естественно поэтому попытаться как-то сжать исходную информацию. Можно, например, рассчитать среднюю зарплату по отраслям народного хозяйства или по регионам. В любом случае работать с несколькими десятками показателей проще и зависимость усредненных данных от случайных факторов меньше.

Как уже отмечалось, для определения среднего значения чаще всего вычисляется среднее арифметическое. Однако, в некоторых случаях целесообразно использовать другие средние величины. Пусть, например, имеются данные об индексах инфляции к по каждому из п лет (/ = 1, и). Так как £ - это отношение уровня цен на конец /-го года к уровню цен на начало года, то за все и лет уровень увеличивается в к[к2,...,кп раз. Поэтому для определения среднего годового индекса цен лучше использовать среднее геометрическое чисел кх, к2,кп. Неравенство (2.80) позволяет сделать вывод о том, что средний индекс цен, полученный как среднее арифметическое, является завышенной оценкой «истинного» индекса цен, основанного на среднем геометрическом.

Пр им ер 2.56. Пусть в течение 1-го, 2-го и 3-го годов цены увеличивались на 20\%, а в течение 4-го и 5-го годов снижались на 30\%. Среднее годовое изменение уровня цен за 5 лет, полученное с помощью среднего арифметического, составит

-(20 + 20 + 20 - 30 - 30) = 0\%. Тогда как среднее геометрическое изменение цен за год будет

(0,2 1,2 1,2 0,7 0,7 - l) • 100\% = -3,3\%.

Поскольку за 5 лет уровень цен действительно понизился, то данный пример подтверждает целесообразность применения среднего геометрического при определении среднего индекса цен за ряд последовательных лет.

Рассмотрим теперь пример, в котором «правильным» средним является среднее гармоническое. Пусть в обращении имеется и наличных рублей. Пусть /(/ = 1,и) - среднее время, в течение которого /-ый рубль находился в собственности одного лица. Среднее время, в течение которого каждый рубль принадлежит одному лицу, можно определить как среднее арифметическое чисел tn. Можно, однако, поступить по-другому: вычислить число оборотов каждого рубля за год по формуле

 

затем, найти среднее арифметическое число оборотов

к1+...+к„

И

(2.83)

t.

и наконец, получить среднее время по формуле

1 л

ср ~ к   1 1

 

Пусть V - суммарный объем за год всех операций с участием наличных рублей. Среднее время, рассчитанное по формуле (2.83), является более предпочтительным, поскольку позволяет установить простую связь между массой наличных денег и и объемом операций V. Действительно, V= кх + ... + кп поэтому и = tcp ■ V. Из неравенства (2.81) следует, что среднее время, рассчитанное по формуле

_?,+-+/„

 

является завышенной оценкой среднего времени, рассчитанного

по формуле (2.83).

Пример использования среднего квадратичного будет приведен в следующем параграфе.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |