Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 2.18. формула тейлора

Пусть функция fix) имеет п производных в точке х0. Многочлен

 

называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке х0.

•(0-1942 145

 

Очевидно, что в точке хй выполняется равенство ^(*о) = f{xo)-Найдем первую производную многочлена Тейлора

Пх)-Г(х0) + ^(х-х0) + —2І~~{*-*о) +-+ („_,), {х-хо) ■

 

Из полученной формулы следует, что Г'(х0) = f'(xoy Вторая производная многочлен а Тейлора имеет вид

 

, ч        /        f"'xo)t   Xі        f^" Хо)/ у-2

rix) = fix0) + -f^(x-x0) +...+ j-^(x-Xo) , для нее также Т"(х0) = f"{*o)- Аналогично находим, что

Г"(*о) = /"'ы

и т.д. Таким образом, для любого А: от 1 до и выполняется равенство

7^(*0) = /<*>(*„). (2.84)

 

Теорема 2.27. Пусть функция /(х) имеет в є-окрестности точки х0(п + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула

^х) = Т{х) + 1^(х-ХоУ+ (2-85)

 

где 1х) - п-й многочлен Тейлора функции f{x) в точке х0.

Доказательство. Определим функциюг(х) формулой г(х) = /(*)- Т(х)- ТаккакГ(х0) = /(х0), тог(х0)= 0. Определим еще одну функцию, $э(х) = (х- хоу* Эта функция также, очевид-146

но, обращается в нуль в точке х0. Благодаря этому, мы можем применить теорему Коши для преобразования частного функций г(х) и ф):

r(x) = r(x)-r(x0) = r'(xi) <р(х)   <p(x)-(p(xQ) <рХіу

где х, - некоторая точка, расположенная между точками х0 и х. Из формулы (2.84) следует, что г'(х0) - 0. Кроме того, <р'(х) = (п+ 1)(х- х0)", откуда <р'(х,) = 0. Применяя теорему Коши еще раз, получим

г'(ху) = r'(x,)-r'(x0) = г"(х2)

Р'М   9'(х)-9'{хо) <Р"{хгУ где точка х2 расположена между л:0 и хг Применяя теорему Коши аналогичным образом (и + 1) раз, получим цепочку равенств

,ы rkl rfel гіпЛх^) ^)\%^)\%"(Х2)=-\%(-)(Хл+і)-

где каждая точка хк+, расположена между х0 и хк(к = Так как ^\%xn+l) = (n + l)U a r^xn+l) = f^(x„+l)-7<"lx^) = = /(я+,)(^>), то

 

ГІХ)=    (и+1)!   Vх• Положив с - х„+1 и учитывая, что/(х) = Г(х) + г(х), получаем

равенство (2.85).

Формула (2.85) называется формулой Тейлора, а выраже-

ние-:    (* ~ хо)    - остаточным членом в формуле Лаг-

ранжа. Положив х0 = 0 в формуле (2.85), получим формулу Мак-лорена:

П Ї       /,(0)  ■   /"'(0) ^       /W<°> - /(Я+1)^

где с - точка, расположенная между 0 и х. 10* 147

ПоложивДх = х - х0, х = х0 + Ах, запишем формулу Тейлора (2.85) в другом виде:

 

2!         п п+)

Для функции у = /(х) в случае п - 1 получаем

 

Ay = dy + —Дх) . (2.86)

Формула (2.86) позволяет оценивать ошибку в приближенном равенстве Ay « dy, которое мы неоднократно использовали в § 2.5- 2.9. Действительно, если на промежутке Л'вторая производная / "(х) не превосходит по модулю некоторого числа М, то и абсолютная величина ошибки в приближенном равенстве

&{ 2

Ay « dy для любых х,х0 є Л' не превосходит —(Дх) . В § 2.5 с

помощью приближенного равенства Ay « dy были получены такие приближенные равенства как sin х « х,ех и 1 + х и др. Теперь мы можем оценить их погрешность.

Пр им ер 2.57. Показать, что ошибка в приближенном ра-

венстве ех « 1 + х не превосходит — х для X є (- оо,і].

 

Решение. Воспользуемся непосредственно формулой Тейлора (2.85). Первый многочлен Тейлора для функции Дх) = ех в нуле будет 7х) =/(0) + /'(0)х = 1 + х. Поэтому ошибка в приближенном равенстве ех« 1 + х совпадает с остаточным чле-

f"(C) 2

ном —-—xі. Вторая производная/"(х) = ех возрастает на R, поэтому ее максимальное значение на промежутке (- 00,1] равно е. Следовательно,

О < ^ ^ х2 < -х2, когда х є (- oo.ll.

2          х J

Формула Тейлора не только позволяет оценить ошибки в известных нам ранее приближенных равенствах, но и получить приближенные равенства нового типа. Предположим, что (и +1 )-я производная функция Дх) ограничена в окрестности точки х0. Пусть Т„{х} - и-й многочлен Тейлора функции Дх) в точке

'с гп(х)= ~^—ф (* ~ хо)"+ _ остаточный член в форме Лагран-жа. Тогда гя(х) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х - х0)" прих -» х0. Действительно,

 

в силу ограниченности/^"+''(с) в окрестностих0. Следовательно, ошибка в приближенном равенстве

/(*)*Гв(х) (2.87) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х - х0)", когдах х0. Используя равенство (2.87) можно получить, например, следующие формулы (при х -+ 0):

,     .„       а     а{а-) г      a(a-l)...(a-n + l) „

М + тІ   al + —X + —            -х +...+ —       —;       -х ,

х х2

Єх ЯІ + —+    +...+ — ,

1!   2! и! х2   Xі   х    , ]Г.х"

 

хз   xs   xi (-1)'»»+'

sinx » х- — + —         —+—+

3! " 5!    7!        (2* + 1)! '

х2   ,4   ,6 И)У*

cosx я 1- —+ —          —+—+

2! ' 4!    6! (2*)! где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно х".

Пример 2.58. Показать, что ошибка в приближенном равенстве

 

Ці + х)***-^- (2.88)

 

не превосходит     для любого X > 0.

Решение. Найдем второй многочлен Тейлора Т2(х) функции X*) = 1п(1 + х) в нуле. Имеем

М'«))'-їїї-И>«))'-^.

Гг(») = /(0) + /'(0), + ^»!=»-1»:!. 2

Далее, (1п(1 + х))'" = г-, поэтому остаточный член

(1 + хГ

/ ч    /'"(с)   J X3

r3U) = ~X   =  г.

 

Точка с расположена между х0 = 0 и jc > 0. Поэтому о 0, (1 + с)3 > 1. Следовательно, ошибка в равенстве (2.88) равна

 

^ + су  и не превосходит — для любого X > 0.

Формула Тейлора, точнее равенство к 7^(лг) может применяться в экономической статистике в следующей ситуации.

Предположим, что для чисел х,, х2, ■ ■ •, хп известно среднее арифметическое

 

а =

п

и «среднее квадратичное отклонение»

 

„_1(*1-а)2+..фп-а)2 V п

Как определить среднее арифметическое вида

у =

если числа х],х2,...,х„ неизвестны, но известен отрезок, в котором они все содержатся? Конечно, точное значение у определить невозможно. Однако, мы сумеем найти у приближенно. При этом ошибка будет тем меньше, чем меньше максимальное значение

/"'(х)на отрезке, содержащем все х^,х2,...,хп. Поступим следующим образом: заменим f(x) на ее второй многочлен Тейлора в точке а:

/(х)*Т2(х) = /(а) = /Щх-а)Лг(аХх-а)

Тогда

 

С учетом того, что — У] (х, - а)2 = —а2, получим 2п^і 2

1

(2.89)

Пример 2.59. Для чисел хxIOQ известны среднее арифметическое а = 2 и среднее квадратичное отклонение а = 0,1. Найти приближенно сумму кубов х+.. .+х,300.

Решение. Для функции у = /(*) = хъ найдем среднее арифметическое по формуле (2.89):

у = х1+-+х™ ха'+ -баа2 = 8,06. 100 2

Откуда следует, что xf+...+xf0Q « 806.

Пример 2.60. Для положительных чисел дг,,..., хп известно среднее арифметическое а и среднее квадратичное отклонение ст. Найти (приближенно) среднее геометрическое п}х1,...,хИ.

Решение. Среднее геометрическое можно представить как

I                       -(lnx,+ +1пх„)

 

Используя формулу (2.89) для функции /(*) = In дс, получим

—( x.+...+ lnx„)& Ina--^-—. пк 2а2

Следовательно, среднее геометрическое

ф^х~п=ае^. (2-90)

 

Пример 2.61. Пустьpt - стоимость потребительской корзины на 31 декабря /-го года, к, = —— индекс потребительских

Р,-

цен за /-Й год (/' = 0,1,..., 10). Известно, что среднее арифметическое чисел к, ,...kw равно 1, а среднее квадратичное отклонение а - 0,1. Определить (приближенно) относительное изменение цен с 31 декабря нулевого года по 31 декабря десятого года.

Решение. Используя формулу (2.90), найдем приближенно среднее геометрическое

 

Далее,      = *,,...*,„ = (е-0005)'0 = е"005 я0,95. Следовательно,за десять лет цены уменьшились приблизительно на 5\%.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |