Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

Глава 1 введение в анализ §1.1. понятие функции. числовые функции и графики. обратная, сложная функции

 

Понятие функции - одно из наиболее важных в математике и ее приложениях. В самом общем понимании функция - это зависимость между двумя переменными. Уточнением этой идеи является следующее.

Определение. Пусть имеются два множества X и Y. Пусть, далее, указано правило, по которому каждому элементу х е X сопоставляется некоторый (единственный) элемент у є Y. Тогда говорят, что задано отображение или, по-другому, функция из X в У (рис. 1.1). При этом множество X называется областью определения функции.

 

Функции (как, впрочем, и другие объекты) в математике обозначают буквами. Чаще всего для этого используются буквы / g, h (латинского алфавита) или <р, у/(греческие). Обозначим данную нам функцию, например, буквой/ Обычно пишут так:

f.X^Y

что означает: / есть отображение множества X в множество Y. Для соответствующих элементов х и у используют запись

у=А*)

(«элемент у есть функция/ от элемента х»).

 

В курсе математического анализа изучают главным образом числовые функции. Числовая функция характеризуется тем, что оба множества Л"и Ксостоят из чисел, т.е. Ха R, У с Л. При этом переменный элемент х из X называется аргументом (или значением аргумента), а соответствующий элемент у - функцией (значением функции).

Наглядное представление о числовой функции дает ее график. Это - некоторое множество точек на координатной плоскости, обычно - некоторая линия.

 

Определение. Графиком функции f с областью определения X называется множество

Г= {(x,J[x))xeX).

Отличительной чертой каждого графика является то, что каждая прямая, параллельная оси ординат, т.е. каждая прямая х = const, пересекает его либо в единственной точке (если хеХ), либо вовсе не пересекает (если х € X); см. рис. 1.2.

В качестве примера приведем таблицу, содержащую данные о числе жителей, населяющих земной шар в отдельные годы:

 

Год

1800

1930

1960

1975

1987

2000

Млрд

1

2

3

4

5

б(прогноз)

Другие примеры: расписание движения поездов, таблица выигрышей в лотерее и т.п.

2. Аналитический, т.е. задание с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно произвести над х, чтобы получить у. Например,

■у

у = -х + 1, у = [х] (целая часть х).

Замечание. Если функция задана формулой, а область ее определения не оговорена, то обычно подразумевается, что областью определения является множество всех значений х, для которых написанная формула имеет смысл (в школьной практике это множество называется ОДЗ - областью допустимых значений для х). Например, в случае функции

 

областью определения является множество всех значений х, удовлетворяющих условию 1 -х2> 0, т.е. промежуток [-1; 1].

При аналитическом способе не исключается и такое положение, когда функция задается не одной формулой, а с помощью нескольких. Примером может служить функция

 

Остановимся кратко на способах задания функции.

В принципе задать функцию означает: указать множество X (область определения функции) и описать правило, позволяющее по данному значению хєХ аргумента находить соответствующее значение функции. Наиболее употребительными являются три способа задания функции:

1. Табличный. Используется тогда, когда область определения состоит из конечного множества чисел: Х= {*,, х2, хп}. Тогда для задания функции проще всего указать таблицу'

 

X

х

Х2

 

Хп

У

У

Уі

 

Уп

+1, если х > 0 0, если х = 0 - 1, если х < 0 .

обозначаемая sgn(x) (от лат. signum - знак).

3. Графический, т.е. с помощью графика. На практике этот способ используется, например, в физических измерениях, когда зависимость у or х вычерчивается прибором (самописцем). Примером может служить снятие ЭКГ с больного.

Помимо «арифметических» действий над функциями, например, сложения, умножения и т.д., существуют еще несколько операций, позволяющих по данным функциям строить новые функции. Наиболее важными из них являются две операции:

 

Подпись:
Построение обратной функции. Пусть у =J{x) - функция с областью определения X. Обозначим множество всех значений функции (т.е. множество всех чисел J(x), где х є X) через У. Пишут обычно: D(J) = X, E(J) = У. Предположим дополнительно, что разным значениям х отвечают разные значения у:

Х]*х2 => ух * у2

(ясно, что не всякая функция удовлетворяет такому условию: примером может служить функция у = х2,х є R). Тогда для каждого значения^ є У существует только одно х є X, такое, чгоДх) = у. Если мы сопоставим каждому у є Y именно такое х, то получим отображение множества Y в множество X. Это отображение называется обратным к данному отображению / и обозначается /~ Таким образом:

f-.X^Y, Ґ:У^Х,

причем связь между / и     устанавливается соглашением: если

то Г1 (>>)=*• . Итак, обратная функция для у =J{x) есть х

= Г (У)- Обычно

аргумент в обратной функции обозначают буквой х, а значение функции - буквой у. Тогда обратная функция запишется >> = /"'(*)■

Пример. Пусть у - Xі. Если за область определения Щу) принять множество всех действительных чисел, то Е{у) = [0; оо), и обратной функции не существует, так как х = ±Jy (два значения, а не одно). Если же принять ЕНу) = [0; оо), то будем иметь обратную функцию д: = Jy , определенную на множестве [0; да) и принимающую значения в том же множестве. Меняя обозначения, получим запись обратной функции в виде y = Jx. На рис. 1.3 приведены графики исходной функции = х2, Х= [0; оо), и обратной функции (с измененными обозначениями) у = 4х , Х= [0; да). Эти графики симметричны друг другу относительно «биссектрисы» 1-й и Ш-й координатных четвертей.

Вообще, графики исходной функции у = J[x) и обратной у =/"'(*) всегда симметричны друг другу относительно указанной биссектрисы (почему?).

Для иллюстрации приведем еще один пример (рис. 1.4): график функции_у = 2ЕКх) = (-со; оо), Е(у) = (0; оо)) и обратной функции у = log2 x(D{x) = (0; оо), Е(у) = Но, оо).

Построение сложной функции. Пусть даны две функции: х = h(t) с областью определения Т и множеством значений X, и у = g(x) с областью определения X и множеством значений У

Тогда «цепное» правило:

/—*-»х—

определяет новую функцию с областью определения Т. Эта новая функция обозначается

у = g(K'))

и называется сложной функцией, или функцией от функции.

Например, две функции у = lgx и х = t + 2 определяют сложную функцию у = lg(t +2) с областью определения t + 2 > 0.

 

Элементарные функции

Наиболее простые приложения математического анализа ограничиваются кругом так называемых элементарных функций. Перечислим сначала основные элементарные функции. Это:

Степенные функции, у = ха,

где а - любое постоянное число. Областью определения считается промежуток х > 0, хотя в некоторых случаях, например, если а - натуральное число, функция определена для всех х.

Показательные функции: у = 0х,

где а > 0, а * 1. Область определения - множество всех действительных чисел.

Логарифмические функции: у = log^x, где а > 0, а * 1. Область определения: х > 0.

4.         Тригонометрические функции: у = sin х, у = cos х, у = tg х.

Область определения для sin х и cos х - множество действи-

тельных чисел.

5.         Обратные тригонометрические функции: у = arcsin х,

у = arccos х, у = arctg х.

Область определения: х е [-1; 1] для arcsin х и arccos х, множество действительных чисел для arctg х.

Укажем теперь действия над функциями, которые мы будем называть допустимыми. Это:

все арифметические действия (/ + g,f - g,f g, —);

построение сложной функции. s

Определение. Элементарными функциями называются такие, которые получаются из основных с помощью допустимых действий.

Например, у = Vl -Xі = (1 - X1)2,у = 1 + Vlgsin2яг ит.п. Во всех указанных примерах областью определения функции можно считать ОДЗ (или часть ОДЗ).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |